Tìm m để đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị hàm số (y = frac{{x + 3}}{{x + 1}}) tại hai điểm M, N sao cho độ dài MN nh� | Doanhnhan.edu.vn

Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số là:

(2x + m = frac{{x + 3}}{{x + 1}}left( {x ne 1} right) Leftrightarrow 2{x^2} + (m + 1)x + m – 3 = 0) (*)

Ta có: (Delta  = {left( {m + 1} right)^2} – 8(m – 3) = {m^2} – 6m + 25 = {(m – 3)^2} + 16 > 0forall m)

=> (*) luôn có hai nghiệm phân biệt  với mọi m.

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: (left{ begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} =  – frac{{m + 1}}{2}\
{x_1}{x_2} = frac{{m – 3}}{2}
end{array} right.)

Gọi (M({x_1};2{x_1} + m),N({x_2};2{x_2} + m)) là hai giao điểm của 2 đồ thị hàm số.

Khi đó ta có: 

(begin{array}{l}
M{N^2} = {left( {{x_2} – {x_1}} right)^2} + {left( {2{x_2} – 2{x_1}} right)^2} = 5{({x_2} – {x_1})^2}\
 = 5left[ {{{left( {{x_1} + {x_2}} right)}^2} – 4{x_1}{x_2}} right] = 5left[ {frac{{{{left( {m + 1} right)}^2}}}{4} – 4.frac{{m – 3}}{2}} right]\
 = frac{5}{4}left( {{m^2} + 2m + 1 – 8m + 24} right) = frac{5}{4}left( {{m^2} – 6m + 25} right)\
 = frac{5}{4}{left( {m – 3} right)^2} + 20 ge 20forall m
end{array})

Dấu “=” xảy ra ( Leftrightarrow m – 3 = 0 Leftrightarrow m = 3)