Giải Toán 10 Bài 3: Phương Trình Elip, Phương Trình Elip Là Gì

A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Trong mặt phảng Oxy cho hai điểm

*

(-c ; 0),

*

(c ; 0) và độdài không đổi 2a (a > c > 0).Elip (E) là tập hợp các điểm M sao cho

*

M +

*

M= 2a (h.3.4). Ta có thể viết:(E)= { M |

*

M +

*

M = 2}.

2. Phương trình chính tắc của elip (E) là : 

3. Các thành phần của elip (E) là :

– Hai tiêu điểm :

*

(- c ; 0),

*

(c ; 0);

– Bốn đỉnh :

*

(- a ; 0),

*

 (a ; 0),

*

{0 ; -b),

*

(0 ; b);

– Độ dài trục lớn :

*

*

= 2a ;

– Độ dài trục nhỏ

*

*

= 2b ;

– Tiêu cự :

*

*

= 2c (h.3.5).

Đang xem: Phương trình elip

4. Hình dạng của elip (E):

– (E) có hai trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là gốc toạ độ ;

– Mọi điểm của elip (E) ngoại trừ bốn đỉnh đều nằm trong hình chữ nhật có kích thước 2a2b giới hạn bởi các đường thẳng x = ± a, y = ± b. Hình chữ nhật đó gọi là hình chữ nhật cơ sở của elip.

B. DẠNG TOÁN CƠ BẢN

* VẤN ĐỀ 1

Lập phương trình chính tắc của một elip khi biết các thành phần đủ để xác đinh elip đó

1. Phương pháp

– Từ các thành phần đã biết, áp dụng công thức liên quan ta tìm được phương trình chính tắc của elip.– Lập phương trình chính tắc của elip theo công thức :– Ta có các hệ thức (h.3.6):• 0 •

*

=

*

 

*

 •

*

*

= 2c (tiêu cự)•

*

*

= 2a (độ dài trục lớn)•

*

*

= 2b (độ dài trục nhỏ)• M ∈ (E) ⇔

*

M +

*

M= 2a.

– Ta có toạ độ các điểm đặc biệt của elip (E):• Hai tiêu điểm :

*

(- c ; 0),

*

(c ; 0);• Hai đỉnh trên trục lớn :

*

(- a ; 0),

*

 (a ; 0),• Hai đỉnh trên trục nhỏ :

*

(0 ; -b),

*

(0 ; b);

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Lập phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau

a) Độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6 ;

b) Một tiêu điểm là điểm (-

*

; 0 ) và điểm ( 1;

*

) nằm trên elip

GIẢI

a) Ta có 2a = 10 suy ra a = 5, 2c = 6 ⇒ c = 3

*

*

 

*

= 25 – 9 = 16.Vì (E) có một tiêu điểm

*

(-

*

; 0 ) nên c =

*

. Ta có :

Ví dụ 2. Lập phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau

a) Một đỉnh trên trục lớn là điểm (3 ; 0) và một tiêu điểm là điểm (-2 ; 0);

b) (E) đi qua hai điểm M(0 ; 1) và N(1;

*

GIẢI

a) Ta có a = 3 ; c = 2.Suy ra

*

*

 

*

= 9 – 4 = 5.Vậy phương trình chính tắc của elip là :

b) Phương trình chính tắc của (E) có dạng :

* VẤN ĐỀ 2

Xác định các thành phần của một elip khi biết phương trình chính tắc của elip đó

1. Phương pháp

– Trục lớn của (E) nằm trên Ox,

*

*

= 2a

– Trục nhỏ của (E) nằm trên Oy, 

*

*

= 2b

– Hai tiêu điểm :

*

(- c ; 0),

*

(c ; 0) với c =

*

– Tiêu cự :

*

M +

*

M = 2c ;

– Bốn đỉnh : 

*

(- a ; 0),

*

 (a ; 0),

*

(0 ; -b),

*

(0 ; b);

– Tỉ số c / a 

– Phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của hình chữ nhật cơ sở làx = ±a ; y = ±b.

Thật vậy, ta có :

*

=

*

+

*

*

=

*

+

*

Suy ra

*

*

= 4cx (1) 

Theo định nghĩa của elip ta có :

*

M +

*

M = 2a (2) 

Chia (1) cho (2) ta được :

*

*

= 2(c/a)x (3) 

Từ (2) và (3) ta tính được

*

M và 

*

M. 

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Xác định độ dài các trục, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh và vẽ elip (E) có phương trình

GIẢI

c =

*

= 4.

Vậy (E) có :

– Trục lớn :

*

*

= 2a =10 ;

– Trục nhỏ :

*

*

= 2b = 6;

– Hai tiêu điểm :

*

 (- 4 ; 0),

*

(4 ; 0 )

– Bốn đỉnh :

*

(- 5 ; 0),

*

(5 ; 0), 

*

(0 ; – 3),

*

(0 ; 3).

Hình vẽ của (E) như hình 3.8.

Ví dụ 2. Cho elip (E) có phương trìnhHãy viết phương trình đường tròn (C) có đường kính là

*
*

 trong đó

*

*

là hai tiêu điểm của (E).

GIẢI

Ta có

*

= 100,

*

= 36.

Suy ra

*

=

*

*

= 64 => c = 8.

Đường tròn đường kính

*
*

có tâm là gốc toạ độ và có bán kính R = c = 8. Vậy phương trình của (C) là :

*

+

*

= 64.

* VẤN ĐỀ 3

Chứng minh điểm M di động trên một elip

1. Phương pháp

Để chứng tỏ điểm M di động trên một elip ta có hai cách (h.3.9): Cách 1 : Chứng minh tổng khoảng cách từ M đến hai điểm cố định

*

,

*

là một hằng số 2a (

*
*

Khi đó M di động trên elip (E) có hai tiêu điểm

*

,

*

và trục lớn là 2a.Cách 2 : Chứng minh trong mặt phẳng toạ độ Oxy điểm M(x ; y) có toạ độ thoả mãn phương trình

với a, b là hai hằng số thoả mãn 0

2. Các ví dụ

GIẢI

*

Ta có

*

= R + 

*

*

*

– R. Suy ra 

*

*

*

*

Vậy M di động trên elip có hai tiêu điểm là 

*

và 

*

và có trục lớn là 2a

*

*

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(x ; y) di động có tọa độ luôn thỏa mãn

trong đó t là tham số thay đổi.

Hãy chứng minh điểm M di động trên một elip.

GIẢI

C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

3.28. Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau :

a) Độ dài trục nhỏ bằng 12 và tiêu cự bằng 16 ;

b) Một tiêu điểm là (12 ; 0) và điểm (13 ; 0) nằm trên elip.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.29. Tìm toạ độ các tiêu điểm, các đỉnh, độ dài các trục của mỗi elip có phương trình sau:

a) 4

*

+ 9

*

= 36 ;

b)

*

+ 4

*

= 4.

⇒ Xem đáp án tại đây.

Xem thêm: Hướng Dẫn Bật Kiếm Tiền Youtube Trên Điện Thoại, Kiếm, Cách Kiếm Tiền Trên Youtube

3.30. Cho đường tròn C (

*

; 2a) cố định và một điểm

*

cố đinh nằm trong (

*

). Xét đường tròn di động (C) có tâm M. Cho biết (C) luôn đi qua điểm

*

(C) luôn tiếp xúc với (

*

). Hãy chứng tỏ M di động trên một elip.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.31. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm M(x; y) di động có toạ độ luôn thoả mãn

trong đó t là tham số. Hãy chứng tỏ M di động trên một elip. 

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.32. Viết phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau :

a) Độ dài trac lớn bằng 26 và tỉ số c/a bằng 5/13 ;

b) Tiêu điểm

*

(-6 ; 0) và tỉ số c/a bằng 2/3.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.33. Viết phương trình chính tắc của elip (E) có hai tiêu điểm là

*

 và 

*

biết

và tam giác

*

vuông tại M.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.34. Cho elip (E): 9

*

+ 25

*

= 225.

a) Tìm toạ độ hai tiêu điểm

*

,

*

 và các đỉnh của (E).

b) Tìm điểm M ∈ (E) sao cho M nhìn

*
*

 dưới một góc vuông.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.35. 

a) Trục lớn bằng ba lần trục nhỏ ;

b) Đỉnh trên trục nhỏ nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông ;

c) Khoảng cách giữa đỉnh trên trục nhỏ và đỉnh trên trục lớn bằng tiêu cự.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.36.

Xem thêm: Cách Đặt Tên Con Gái Họ Nguyễn Trần, Bộ Sưu Tập 100 Cách Đặt Tên Con Gái Họ Nguyễn

Cho elip (E) : 4

*

+ 9

*

= 36 và điểm M( 1 ; 1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt (E) tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB.

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Thông tin tổng hợp
READ:  Điểm Chuẩn Đại Học Ngoại Ngữ, Điểm Chuẩn 2020 Trường Đh Ngoại Ngữ