Phương trình đường thẳng trong không gian | Doanhnhan.edu.vn

Ví dụ 1:

Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong các trường hợp sau:

a) d đi qua A(1; 2;-3) và B(-2; 2;0).

b) d đi qua  A(-2;4;3) và vuông góc với mặt phẳng ((alpha):) 2x-3y–6z+19=0.

c) d đi qua điểm A(2;-5;3) và song song với đường thẳng (d’:) (left{ begin{array}{l} x = 2 + t\ y = 3 + 2t\ z = 5 – 3t end{array} right.).

d) d đi qua điểm M(3;1;5) và song song với hai mặt phẳng (P):2x+3y-2z+1=0 và (Q): x–3y+z-2=0.

Lời giải:

a) Ta có: (overrightarrow {AB} = left( { – 1;0;1} right).)

Do d đi qua A và B nên VTCP của d là (overrightarrow u = frac{1}{3}overrightarrow {AB} = left( { – 1;0;1} right)).

Mặt khác d đi qua A(1; 2;-3).

Suy ra phương trình tham số của d là (left{ begin{array}{l} x = 1 – t\ y = 2\ z = – 3 + t end{array} right.)

b) VTPT của ((alpha)) là (vec n = (2; – 3; – 6).)

Do (d bot (alpha )) nên d nhận (vec u =vec n=(2;-3;-6)) là VTCP.

Mặt khác d đi qua  A(-2;4;3).

Suy ra phương trình tham số của d là (left{ begin{array}{l} x = – 2 + 2t\ y = 4 – 3t\ z = 3 – 6t end{array} right.)

c) VTCP của d’ là (overrightarrow {u’} = (1;2; – 3).)

Do d// d’ nên VTCP của d (overrightarrow u = overrightarrow {u’} = (1;2; – 3).)

Mặt khác d đi qua điểm A(2;-5;3).

Suy ra phương trình tham số của d là (left{ begin{array}{l} x = 2 + t\ y = – 5 + 2t\ z = 3 – 3t end{array} right.)   

d) Ta có: (overrightarrow {{n_{(P)}}} = (2;3; – 2)) và (overrightarrow {{n_{(Q)}}} = (1; – 3;1)) lần lượt là VTPT của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q).

Do: (left{ begin{array}{l} d//left( P right)\ d//(Q) end{array} right.) nên d có VTCP là: (overrightarrow u = left[ {overrightarrow {{n_P}} ;overrightarrow {{n_Q}} } right] = ( – 3; – 4; – 9).)

Mặt khác: d đi qua điểm M(3;1;5)

READ:  Đa dạng và đặc điểm chung của lớp chim | Doanhnhan.edu.vn

Suy ra phương trình tham số của d là: (left{ begin{array}{l} x = 3 – 3t\ y = 1 – 4t\ z = 5 – 9t end{array} right.)

Ví dụ 2:

Xác đinh trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau:

a) ({rm{d}}:left{ begin{array}{l} x = – 3 + 2t\ y = – 2 + 3t\ z = 6 + 4t end{array} right.) và (d’:left{ begin{array}{l} x = 5 + t’\ y = – 1 – 4t’\ z = 20 + t’ end{array} right.).

b) (d:left{ begin{array}{l} x = 1 + t\ y = 2 + t\ z = 3 – t end{array} right.) và (d’:left{ begin{array}{l} x = 1 + 2t’\ y = – 1 + 2t’\ z = 2 – 2t’ end{array} right.). 

Lời giải:

a) d qua A(-3;-2;6) có VTCP (overrightarrow u = left( {2;3;4} right).) 

d’ qua B(5;-1;20) có VTCP (overrightarrow {u’} = left( {1; – 4;1} right)).

(overrightarrow {AB} = left( {8;1;14} right))

(left[ {overrightarrow u ,overrightarrow {u’} } right] = left( {left| {begin{array}{*{20}{c}} 3&4\ { – 4}&1 end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}} 4&2\ 1&1 end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}} 2&3\ 1&{ – 4} end{array}} right|} right) = left( {19;2; – 11} right).)

Ta có: (left{ begin{array}{l} left[ {overrightarrow u ,overrightarrow {u’} } right].overrightarrow {AB} = 19.8 + 2.1 – 11.14 = 152 + 2 – 154 = 0\ left[ {overrightarrow u ,overrightarrow {u’} } right] = left( {19;2; – 11} right) ne overrightarrow 0 end{array} right.)

Suy ra d và d’ cắt nhau.

b) d qua A(1;2;3) có VTCP (overrightarrow u = left( {1;1; – 1} right).) 

d’ qua B(1;-1;2) có VTCP (overrightarrow {u’} = left( {2; 2;-2} right).)

(overrightarrow {AB} = left( {0;-3;-1} right))

(left[ {overrightarrow u ,overrightarrow {u’} } right] = left( {left| {begin{array}{*{20}{c}} 1&{ – 1}\ 2&{ – 2} end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}} { – 1}&1\ { – 2}&2 end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}} 1&1\ 2&2 end{array}} right|} right) = left( {0;0;0} right))

Ta có: (left{ begin{array}{l} overrightarrow {u’} = 2overrightarrow u \ overrightarrow {AB} = left( {0; – 3; – 1} right) ne overrightarrow 0 end{array} right.)  

Suy ra d và d’ song song với nhau.

Ví dụ 3:

Tìm a để hai đường thẳng sau đây cắt nhau (d:left{ begin{array}{l} x = 1 + at\ y = t\ z = – 1 – 2t end{array} right.;d’:left{ begin{array}{l} x = 1 – t’\ y = 2 + 2t’\ z = 3 – t end{array} right.).

Lời giải:

d qua A(1;0;-1) có VTCP (overrightarrow u = left( {a;1;2} right).)

d’ qua B(1;2;3) có VTCP (overrightarrow u = left( { – 1;2; – 1} right).)

READ:  Sinh học 8 Bài 7: Bộ xương | Doanhnhan.edu.vn

(overrightarrow {AB} = left( {0;2;4} right))

(left[ {overrightarrow u ,overrightarrow {u’} } right] = left( {left| {begin{array}{*{20}{c}} 1&2\ 2&{ – 1} end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}} 2&a\ { – 1}&{ – 1} end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}} a&1\ { – 1}&2 end{array}} right|} right) = left( { – 5;a – 2;2{rm{a}} + 1} right)).

Nếu d cắt d’ khi:

(begin{array}{l} left{ begin{array}{l} left[ {overrightarrow u ,overrightarrow {u’} } right] ne overrightarrow 0 \ left[ {overrightarrow u ,overrightarrow {u’} } right].overrightarrow {AB} = 0 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} a – 2 ne 0\ 2{rm{a}} – 1 ne 0\ 2(a – 2) + 4(2{rm{a + }}1) = 0 end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} a ne 2\ a ne frac{1}{2}\ a = 0 end{array} right. Rightarrow a = 0 end{array})  

Vậy a=0 là giá trị cần tìm.

Ví dụ 4:

Tính các khoảng cách sau:

a) Khoảng cách từ điểm A(1;0;1) đến đường thẳng (Delta :frac{{x – 1}}{2} = frac{y}{2} = frac{z}{1}.)

b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng (Delta :left{ begin{array}{l} x = 1 + t\ y = – 1 – t\ z = 1 end{array} right.) và (Delta ‘:left{ begin{array}{l} x = 2 – 3t’\ y = 2 + 3t’\ z = 3t’ end{array} right.quad left( {t,t’ in R} right)).

Lời giải:

a) Đường thẳng (Delta) đi qua điểm B(1;0;0) và có vectơ chỉ phương (overrightarrow u = left( {2;2;1} right)).

(begin{array}{l} overrightarrow {AB} = left( {0;0; – 1} right)\ left[ {overrightarrow {AB} ,vec u} right] = left( {left| {begin{array}{*{20}{c}} 0&{ – 1}\ 2&1 end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}} { – 1}&0\ 1&2 end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}} 0&0\ 2&2 end{array}} right|} right) = left( {2; – 2;0} right). end{array})

Vậy (dleft( {A,Delta } right) = frac{{sqrt {4 + 4} }}{{sqrt {4 + 4 + 1} }} = frac{{2sqrt 2 }}{3}.) 

b) Đường thẳng (Delta) qua A(1;-1;1) và có VTCP (overrightarrow u = left( {1; – 1;0} right).)

Đường thẳng (Delta’) qua B(2;2;0) và VTCP (overrightarrow {u’} = left( { – 3;3;3} right).)

(begin{array}{l} overrightarrow {AB} = left( {1;3; – 1} right)\ left[ {vec u,vec u’} right] = left( { – 3; – 3;0} right)\ Rightarrow left[ {vec u,vec u’} right].overrightarrow {AB} = – 12. end{array})

Vậy: (dleft( {Delta ,Delta ‘} right) = frac{{left| {left[ {overrightarrow u ,overrightarrow {u’} } right].overrightarrow {AB} } right|}}{{left| {left[ {overrightarrow u ,overrightarrow {u’} } right]} right|}} = frac{{left| { – 12} right|}}{{sqrt {9 + 9 + 0} }} = frac{{12}}{{3sqrt 2 }} = 2sqrt 2.) 

READ:  Từ nhiều nghĩa và hiện tượng chuyển nghĩa của từ | Doanhnhan.edu.vn

Ví dụ 5:

a) Tính góc tạo bởi đường thẳng (d): (left{ begin{array}{l} x = 1 + 2t\ y = 2 + t\ z = 5 + 4t end{array} right.)  và ((d’):frac{{x – 2}}{{ – 1}} + frac{{y – 4}}{3} + frac{{z + 3}}{2} = 0.)

b) Tìm m để đường thẳng ((d):left{ begin{array}{l} x = 2t\ y = 1 – 2t\ z = 1 – t end{array} right.) và ((d’):left{ begin{array}{l} x = 1 + 2t\ y = 2 + (m – 2)t\ z = t end{array} right.) tạo với nhau một góc 60.

Lời giải:

a) VTCP của (d) là: (overrightarrow {{u_d}} = (2;1;4).)  

VTCP của (d’) là: (overrightarrow {{u_{d’}}} = left( { – 1;3;2} right).)   

Gọi (varphi) là góc tạo bởi hai đường thẳng (d) và (d’) ta có:

(begin{array}{l} cos varphi = frac{{left| {overrightarrow {{u_d}} .overrightarrow {{u_{d’}}} } right|}}{{left| {overrightarrow {{u_d}} } right|left| {overrightarrow {{u_{d’}}} } right|}} = frac{{left| {2.( – 1) + 3.1 + 4.2} right|}}{{sqrt {{2^2} + {1^2} + {4^2}} sqrt {{{( – 1)}^2} + {3^2} + {2^2}} }} = frac{9}{{sqrt {294} }}\ Rightarrow varphi approx {88^0}15′ end{array})

b) (overrightarrow {{u_d}} = left( {2; – 2; – 1} right))

(overrightarrow {{u_{d’}}} = left( {m;m – 2;1} right))

(d) và (d’) tạo với nhau một góc 60 nên:

(begin{array}{l} left| {cos left( {overrightarrow {{n_P}} ,overrightarrow {{n_Q}} } right)} right| = frac{1}{2} Leftrightarrow frac{1}{{sqrt {2{m^2} – 4m + 5} }} = frac{1}{2}\ Leftrightarrow 2{m^2} – 4m + 1 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} m = 2 – sqrt 2 \ m = 2 + sqrt 2 end{array} right. end{array})

Vậy (m=2-sqrt2) và (m=2+sqrt2) là các giá trị cần tìm.

Ví dụ 6:

Tìm m để  đường thẳng: (d:left{ begin{array}{l} x = 1 + mt\ y = (m – 2)t\ z = 1 + t end{array} right.) và (P): (2x – 2y – z + 1 = 0) tạo thành góc 30.

Lời giải:

d có VTCP: (overrightarrow u = (m,m – 2,1).)  

(P) có VTPT: (overrightarrow n = (2; – 2; – 1).)

d và (P) tạo với nhau một góc 30 nên:

(begin{array}{l} sin {30^0} = left| {cos left( {overrightarrow u ,vec n} right)} right| = frac{1}{2},, Leftrightarrow frac{1}{{sqrt {2{m^2} – 4m + 5} }} = frac{1}{2}\ Leftrightarrow 2{m^2} – 4m + 1 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} m = frac{{2 + sqrt 2 }}{2}\ m = frac{{2 – sqrt 2 }}{2} end{array} right.. end{array})

Vậy (m = frac{{2 + sqrt 2 }}{2}) và (m = frac{{2 – sqrt 2 }}{2}) là các giá trị cần tìm.

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Học tập