Hình học 8 Bài 2: Hình thang | Doanhnhan.edu.vn

​1.1 Định nghĩa và tính chất

Định nghĩa :

Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song. Các cạnh song song gọi là cạnh đáy.

Tính chất:

Trong một hình thang, hai góc kề một cạnh bên thì bù nhau

Chú ý: Để chứng minh một tứ giác là hình thang, ta chứng minh nó có 2 cạnh đối song song.

1.2 Hình thang vuông

Định  nghĩa: Hình thang có một góc vuông là hình thang vuông.

Chú ý: Để chứng minh một hình thang là vuông, ta chứng minh nó có 1 góc vuông.

1.3 Hình thang cân

Định nghĩa: Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau.

Tính chất: 

Định lí 1: Trong một hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.

ABCD là hình thang có ({rm{hat A = hat B }} Rightarrow {rm{ AD = BC}})

Định lí 2: 

– Trong một hình thang cân thì hai đường chéo bằng nhau.

– Ngược lại, một hình thang có hai đường chéo bằng nhau thì nó là hình thang cân.

ABCD là hình thang ( Leftrightarrow {rm{ AC = AD}}).

Chú ý: Để chứng minh là một hình thang lầ cân, ta có hai cách chứng minh:

1. Chứng minh nó là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau (định nghĩa).

2. Chứng minh nó là hình thang có hai đường chéo bằng nhau (định lí 2).

1.4 Đường trung bình của hình thang

a) Đường trung bình của tam giác:

Định lí 1: Đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.

READ:  Trình bày cô đọng bằng bảng | Doanhnhan.edu.vn

Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

Định lí 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng một nửa cạnh ấy.

(Delta {rm{ABC}}); DE là đường trung bình ( Rightarrow {rm{ DE}}parallel {rm{ BC }}) và ({rm{ DE = }}frac{1}{2}{rm{BC}}).

b) Đường trung bình của hình thang:

Định lí 1: Đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên còn lại.

Định nghĩa: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối các trung điểm của 2 cạnh bên.

Định lí 2: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng một nửa tổng hai đáy.

EF là đường trung bình  ( Rightarrow {rm{ EF}}parallel {rm{AB}}parallel {rm{CD}}) và ({rm{ EF = }}frac{1}{2}({rm{AB + CD)}})

Ví dụ 1: Cho ba điểm A, B, C, D theo thứ tự ấy nằm trên một đường thẳng d, biết AB > BC. Trong một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d vẽ hai tam giác đều ADB, BEC. Gọi M, N, P, Q, I theo thứ tự là trung điểm của các đoạn BD, AE, BE, CD và DE.

1. Chứng minh ba điểm I, M, N  thẳng hàng, ba điểm I, Q, P cũng thẳng hàng.

2. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thang cân.

3. Suy ra: (NQ = frac{1}{2}DE)

Giải

1. Dễ thấy AD // BE.  Trong tam giác AED, I là trung điểm của DE và N là trung điểm của AE nên IN là đường trung bình ứng với cạnh AD, như vậy: IN // AD.

Trong tam giác BDE, I là trung điểm của DE và M là trung điểm của DB nên IM là đường trung bình ứng với cạnh BE, như vậy: IM // BE.

READ:  Đề kiểm tra 1 tiết HK2 môn Công Nghệ 8 trường THCS An Dương Vương có đáp án | Doanhnhan.edu.vn

Từ các kết luận IN // AD, IM // BE mà AD // BE, theo tiên đề Euclide, ta suy ra IN và IM trùng nhau hy ba điểm I, M, N thẳng hàng.

Chứng minh tương tự, ta có ba điểm I, Q, P cũng thẳng hàng.

2. Trong tam giác AEB, N là trung điểm của EA và P là trung điểm của EB nên ta có NP // AB

Tương tự ta có: MQ // BC

Vậy MQ // NP hay tứ giác MNPQ là hình thang (1)

Do MN // AD và NP // AB mà (widehat {DAB} = {60^0} Rightarrow widehat {MNP} = {60^0})

Lí luận tương tự, ta có: (widehat {QPN} = {60^0}) cho ta (widehat {MNP} = widehat {QPN}) (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác MNPQ là hình thang cân.

3. Tứ giác MNPQ là hình thang cân, nên hai đường chéo của nó phải bằng nhau: NQ = MP

Trong tam giác DBE, M là trung điểm của BD và P là trung điểm của BE, cho ta: (MP = frac{1}{2}DE,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(4))

Từ (3) và (4) suy ra: (NQ = frac{1}{2}DE)

Chú ý:

1. Ta có thể chứng minh ba điểm I, M, N thẳng hàng như sau:

* Trong tam giác AED và N là trung điểm của EA nên IN là đường trung bình ứng với cạnh AD, cho ta: IN // AD mà AD // BE nên IN // BE.

* Trong tam giác BDE, ta có IN // BE mà I là trung điểm cạnh ED, nên đường thẳng IN chứa đường trung bình ứng với cạnh BE. Vậy IN phải đi qua trung điểm của cạnh DB hay ba điểm I, M, N thẳng hàng.

2. Có thể thay câu hỏi ba điểm I, M, N thẳng hàng và ba điểm I, Q, P thẳng hàng bằng câu hỏi chứng minh ba đường thẳng MN, QP và DE đồng quy.

READ:  Unit 4 lớp 12 Language Focus | Doanhnhan.edu.vn

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Trên AC lấy một điểm B’ sao cho AB’=AB và trên AB lấy một điểm C’ sao cho AC’=AC. Chứng minh tứ giác BB’CC’ là hình thang.

Giải

(AB’ = AB Rightarrow Delta BAB’)cân tại đỉnh A, ta có

(angle AB{B^prime } = frac{{{{180}^0} – angle A}}{2},,,,,,,(1))

(AC’ = AC Rightarrow Delta CAC’) cân tại đỉnh A, ta có

(angle AC’C = frac{{{{180}^0} – angle A}}{2}{mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} ,,(2))

Từ (1) và (2) suy ra (widehat {ABB’} = widehat {AC’C})

Hai đường thẳng BB’ và CC’ tạo với đường thẳng AB hai góc đồng vị bằng nhau nên BB’ // CC’

Vậy BB’ //CC’ là hình thang.


Ví dụ 3: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi E  là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là các trung điểm của các đoạn thẳng AE, BE, AC và BD. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thang.

Giải

M là trung điểm của AE.

N là trung điểm của BE.

( Rightarrow ) MN là đường trung bình ứng với cạnh AB của (Delta EAB), suy ra MN // AB  (1)

Gọi R là trung điểm của AD

Trong (Delta ADB,,,RQ) là đường trung bình, suy ra RQ // AB

Trong (Delta CAD,,,RP)là đường trung bình, suy ra RP // DC mà DC // AB nên RP // AB.

RQ và RP cùng đi qua R và cùng song song với AB nên theo tiên đề Ơclit thì (RQ equiv RP)

Từ đây ta suy ra QP // AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra MN // PQ ( Rightarrow ) Tứ giác MNPQ là hình thang.

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Học tập