Hệ tọa độ trong không gian | Doanhnhan.edu.vn

Ví dụ 1:

Cho ba vectơ (vec a=(1;m;2),vec b=(m+1;2;1),vec c=(0;m-2;2).)

a) Tìm m để (vec a) vuông góc (vec b.)

b) Tìm m để (left| {overrightarrow a + overrightarrow b } right| = left| {overrightarrow c } right|.)

Lời giải:

a) Ta có: (overrightarrow a bot overrightarrow b Rightarrow overrightarrow a .overrightarrow b = 0 Leftrightarrow m + 1 + 2m + 2 = 0 Leftrightarrow m = – 1.)

b) Ta có: (overrightarrow a + overrightarrow b = left( {m + 2;m + 2;3} right))

Do đó: 

(begin{array}{l} left| {overrightarrow a + overrightarrow b } right| = left| {overrightarrow c } right| Leftrightarrow {left| {overrightarrow a + overrightarrow b } right|^2} = {left| {overrightarrow c } right|^2}\ Leftrightarrow {left( {m + 2} right)^2} + {(m + 2)^2} + 9 = {(m – 2)^2} + 4\ Leftrightarrow {m^2} + 12m + 9 = 0 Leftrightarrow m = – 6 pm sqrt 3 . end{array})

Ví dụ 2:

Trong hệ trục tọa độ Oxy cho (overrightarrow a = (1; – 1;0),,overrightarrow b = ( – 1;1;2),,overrightarrow c = overrightarrow i – 2overrightarrow j ,,overrightarrow d = overrightarrow i).

a) Xác định t để vectơ (overrightarrow u = left( {2;2t – 1;0} right)) cùng phương với (overrightarrow a .)  

b) Tìm các số thực m,n,p để (overrightarrow d = moverrightarrow a – noverrightarrow b + poverrightarrow c).   

Lời giải:

a) (vec u)cùng phương với (vec a) khi:

(begin{array}{l} left{ begin{array}{l} 1 = 2k\ – 1 = (2t – 1)k\ 0 = 0k end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} 1 = 2k\ – 1 = (2t – 1)k end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} k = frac{1}{2}\ – 1 = (2t – 1)k end{array} right. end{array})

Với (t=frac{1}{2}) thì ta có: (left{ begin{array}{l} k = frac{1}{2}\ – 1 = 0 end{array} right.) (Vô nghiệm)

Với (t ne frac{1}{2}) thì ta có: (left{ begin{array}{l} k = frac{1}{2}\ k = frac{{ – 1}}{{2t – 1}} end{array} right. Leftrightarrow frac{{ – 1}}{{2t – 1}} = frac{1}{2} Leftrightarrow t = -frac{{ 1}}{2})

READ:  Tìm hiểu hệ cơ sở dữ liệu | Doanhnhan.edu.vn

b) Ta có: (overrightarrow c = overrightarrow i – 2overrightarrow j = (1;0;0) – 2(0;1;0) = (1; – 2;0))

(begin{array}{l} overrightarrow d = moverrightarrow a – noverrightarrow b + poverrightarrow c \ Leftrightarrow (1;0;0) = m(1; – 1;0) – n( – 1;1;2) + p(1; – 2;0)\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} m + n + p = 1\ – m – n – 2p = 0\ 0m – 2n + 0p = 0 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} m = 2\ n = 0\ p = – 1 end{array} right. end{array})

Vậy m=2;n=0;p=-1.

Ví dụ 3:

Cho A(3;0;4), B(1;2;3), C(9;6;4). Tìm:

a) Trọng tâm tam giác ABC.

b) Tọa độ đỉnh D để ABCD là hình bình hành.

c) Tọa độ giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD.

Lời giải:

a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có:

(left{ begin{array}{l} {x_G} = frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\ {y_G} = frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\ {z_G} = frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {x_G} = frac{{13}}{3}\ {y_G} = frac{8}{3}\ {z_G} = frac{{11}}{3} end{array} right.)

Vậy (Gleft( {frac{{11}}{3};frac{8}{3};frac{{11}}{3}} right).) 

b) Gọi (Dleft( {{x_D};{y_D};{z_D}} right))  

(begin{array}{l} overrightarrow {AB} = ( – 2;2; – 1)\ overrightarrow {DC} = (9 – {x_D};6 – {y_D};4 – {z_D}) end{array})

Để ABCD là hình bình hành thì:

(overrightarrow {AB} = overrightarrow {DC})

Hay: (left{ begin{array}{l} – 2 = 9 – {x_D}\ 2 = 6 – {y_D}\ – 1 = 4 – {z_D} end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {x_D} = 11\ {y_D} = 4\ {z_D} = 5 end{array} right. Rightarrow D(11;4;5))   

c) Gọi I là giao điểm hai đường chéo AC và BD thì:

I là trung điểm của AC (Rightarrow left{ begin{array}{l} {x_I} = frac{{{x_A} + {x_C}}}{2} = 6\ {y_I} = frac{{y{}_A + {y_C}}}{2} = 3\ {z_I} = frac{{{z_A} + {z_C}}}{2} = 4 end{array} right. Rightarrow I(6,3,4)).  

Ví dụ 4:

Trong mặt phẳng (P) cho hình chóp S.ABC có tọa độ các đỉnh (A(0;0;0);,Bleft( {frac{a}{2};frac{{asqrt 3 }}{2};0} right);C(a;0;0);S(0;0;a)). Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC.

READ:  Nguyên nhân thắng lợi và ý nghĩa lịch sử của ba lần kháng chiến chống quân xâm lược Mông-Nguyên. | Doanhnhan.edu.vn

Lời giải:

Ta có: (overrightarrow {AB} = left( {frac{a}{2};frac{{asqrt 3 }}{2};0} right)); (overrightarrow {SC} = left( {a;0; – a} right).)

(cos left( {AB,SC} right) = frac{{left| {overrightarrow {AB} .overrightarrow {SC} } right|}}{{left| {overrightarrow {AB} } right|.left| {overrightarrow {SC} } right|}} = frac{{sqrt 2 }}{4} Rightarrow widehat {left( {AB,SC} right)} approx {69^0}18′.)

Ví dụ 5:

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tọa độ các điểm như sau:

(A(0;0;0);,B(a;0;0);,C(0;asqrt 3 ,0);A’left( {frac{a}{2};frac{{asqrt 3 }}{2};asqrt 3 } right);B’left( {frac{{3a}}{2};frac{{asqrt 3 }}{2};asqrt 3 } right);C’left( {frac{a}{2};frac{{3asqrt 3 }}{2};asqrt 3 } right))

Gọi M là trung điểm của BC

a) Chứng minh: (A’M bot BC.)   

b) Tính góc giữa hai đường thẳng: AA’ và B’C’.

Lời giải:

Lăng trụ ABC.A'B'C'

a) Ta có: (overrightarrow {A’M} = left( {0;0; – asqrt 3 } right))  

(overrightarrow {BC} = left( { – a;asqrt 3 ;0} right))

Ta có: (overrightarrow {AM} .overrightarrow {BC} = 0.)  

Vậy AM vuông góc BC.

b) Ta có:

 (begin{array}{l} overrightarrow {AA’} = left( {frac{a}{2};frac{{asqrt 3 }}{2};asqrt 3 } right)\ overrightarrow {B’C’} = left( {a; – asqrt 3 ;0} right) end{array})  

(cos (AA’,B’C’) = frac{{left| {overrightarrow {AA’} .overrightarrow {B’C’} } right|}}{{left| {overrightarrow {AA’} } right|left| {overrightarrow {B’C’} } right|}} = frac{1}{4})

Vậy: (widehat {left( {AA’,B’C’} right)} approx {75^0}31′.)   

Ví dụ 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-1;-1;2) điểm B(-1;-1;0). Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.

Lời giải:

Gọi I là trung điểm AB ta có: (left{ begin{array}{l} {x_I} = frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = – 1\ {y_I} = frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = – 1\ {z_I} = frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = 1 end{array} right. Rightarrow I( – 1; – 1;1))

Ta có: (IA = IB = 1.)

Mặt cầu đường kính AB, nhận điểm I làm tâm, có bán kính R=IA=1 nên có phương trình là:

({(x + 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z – 1)^2} = 1.)

Ví dụ 7:

Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1; 1; 0), B(3; 1; 2), C(-1; 1; 2) và D(1;-1;2).

READ:  Bài tập 9 trang 44 SGK Giải tích 12 | Doanhnhan.edu.vn

Lời giải:

Gọi phương trình mặt cầu là: (,{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2{rm{ax}},{rm{ – }},{rm{2by}},{rm{ – }},{rm{2cz}},{rm{ + }},{rm{d}},{rm{ = }},{rm{0}},left( {{{rm{a}}^{rm{2}}} + {b^2} + {c^2} – d > 0} right))

Mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D nên:

(Rightarrow left{ begin{array}{l} -2a – 2b + d + 2 = 0\ -6a – 2b – 4c + d + 14 = 0\ 2a – 2b – 4c + d + 6 = 0\ -2a + 2b – 4c + d + 6 = 0 end{array} right.,,,, Rightarrow a = b = 1;,c = 2;d = 2)                                            

Kết luận: Phương trình mặt cầu là (x^2+y^2+z^2-2x-2y-4z+2=0.) 

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Học tập