Contents
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Tính số đo của góc giữa (BA’C) và (DA’C).
Kẻ (BH bot A’C,{rm{ (H}} in {rm{A’C)}}) (1).
Mặt khác: (BD bot AC{rm{ (gt)}})
(AA’ bot (ABCD) Rightarrow AA’ bot BD{rm{ }})
(Rightarrow BD bot (ACA’) Rightarrow BD bot A’C) (2)
Từ (1) (2) suy ra:
(A’C bot (BDH) Rightarrow A’C bot DH)
Do đó: ((widehat {(BA’C),(DA’C)}) = (widehat {HB,HD}))
Xét tam giác BCA’ ta có:
(frac{1}{{B{H^2}}} = frac{1}{{B{C^2}}} + frac{1}{{BA{‘^2}}} = frac{3}{{2{a^2}}} Rightarrow BH = a.sqrt {frac{2}{3}} Rightarrow DH = a.sqrt {frac{2}{3}})
Ta có:
(cos widehat {BHD} = frac{{2B{H^2} – B{D^2}}}{{2B{H^2}}} = – frac{1}{2} Rightarrow widehat {BHD} = {120^0}>90^0)
Vậy: (widehat {((BA’C),(DA’C))} =180^0-120^0= {60^0}.)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác cân AB=AC=a, (widehat {BAC} = {120^0}), BB’=a, I là trung điểm của CC’. Tính cosin của góc giữa hai mp(ABC) và (AB’I).
Ta thấy tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác AB’I lên mặt phẳng (ABC).
Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I).
Theo công thức hình chiếu ta có: (cos varphi = frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{AB’I}}}}).
Ta có:
({S_{ABC}} = frac{1}{2}.AB.AC.sin {120^0} = frac{{{a^2}sqrt 3 }}{4})
(AI = sqrt {A{C^2} + C{I^2}} = frac{{asqrt 5 }}{2})
(AB’ = sqrt {A{B^2} + BB{‘^2}} = asqrt 2)
(IB’ = sqrt {B’C{‘^2} + IC{‘^2}} = frac{{asqrt {13} }}{2}.)
Suy ra: Tam giác AB’I vuông tại A nên ({S_{AB’I}} = frac{1}{2}.AB’.AI = frac{{{a^2}sqrt {10} }}{4}).
Vậy: (cos varphi = frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{AB’I}}}} = sqrt {frac{3}{{10}}} .)
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi, SA=SC. Chứng minh rằng: ((SBD) bot (ABCD).)
Ta có: (AC bot BD) (1) (giả thiết).
Mặt khác, (SO bot AC) (2) (SAC là tam giác cân tại A và O là trung điểm của AC nên SO là đường cao của tam giác).
Từ (1) và (2) suy ra: (AC bot (SBD)) mà (AC subset (ABCD)) nên ((SBD) bot (ABCD).)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, (AD = asqrt 2), (SA bot (ABCD)). Gọi M là trung điểm của AD, I là giao điểm của AC và BM. Chứng minh rằng: ((SAC) bot (SMB).)
Ta có: (SA bot (ABCD) Rightarrow SA bot BM{rm{ (1)}}).
Xét tam giác vuông ABM có: (tan widehat {AMB} = frac{{AB}}{{AM}} = sqrt 2).
Xét tam giác vuông ACD có: (tan widehat {CAD} = frac{{CD}}{{AD}} = frac{1}{{sqrt 2 }}).
Ta có:
(begin{array}{l} cot widehat {AIM} = cot ({180^0} – (widehat {AMB} + widehat {CAD}))\ = cot (widehat {AMB} + widehat {CAD}) = 0 Rightarrow widehat {AIM} = {90^0} end{array})
Hay (BM bot AC{rm{ (2)}}).
+ Từ (1) và (2) suy ra: (BM bot (SAC)) mà (BM subset (SAC)) nên ((SAC) bot (SMB).)