Hai mặt phẳng vuông góc | Doanhnhan.edu.vn

Ví dụ 1:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Tính số đo của góc giữa (BA’C) và (DA’C).

Hướng dẫn giải:

Kẻ (BH bot A’C,{rm{ (H}} in {rm{A’C)}}) (1).

Mặt khác: (BD bot AC{rm{ (gt)}})

(AA’ bot (ABCD) Rightarrow AA’ bot BD{rm{ }})

(Rightarrow BD bot (ACA’) Rightarrow BD bot A’C) (2)

Từ (1) (2) suy ra:

(A’C bot (BDH) Rightarrow A’C bot DH)

Do đó: ((widehat {(BA’C),(DA’C)}) = (widehat {HB,HD}))

Xét tam giác BCA’ ta có:

(frac{1}{{B{H^2}}} = frac{1}{{B{C^2}}} + frac{1}{{BA{‘^2}}} = frac{3}{{2{a^2}}} Rightarrow BH = a.sqrt {frac{2}{3}} Rightarrow DH = a.sqrt {frac{2}{3}})

Ta có: 

(cos widehat {BHD} = frac{{2B{H^2} – B{D^2}}}{{2B{H^2}}} = – frac{1}{2} Rightarrow widehat {BHD} = {120^0}>90^0)

Vậy: (widehat {((BA’C),(DA’C))} =180^0-120^0= {60^0}.) 

Ví dụ 2:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác cân AB=AC=a, (widehat {BAC} = {120^0}), BB’=a, I là trung điểm của CC’. Tính cosin của góc giữa hai mp(ABC) và (AB’I).

Hướng dẫn giải:

Ta thấy tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác AB’I lên mặt phẳng (ABC).

Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I).

Theo công thức hình chiếu ta có: (cos varphi = frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{AB’I}}}}).

Ta có:

({S_{ABC}} = frac{1}{2}.AB.AC.sin {120^0} = frac{{{a^2}sqrt 3 }}{4})

(AI = sqrt {A{C^2} + C{I^2}} = frac{{asqrt 5 }}{2})

(AB’ = sqrt {A{B^2} + BB{‘^2}} = asqrt 2)

(IB’ = sqrt {B’C{‘^2} + IC{‘^2}} = frac{{asqrt {13} }}{2}.)

Suy ra: Tam giác AB’I vuông tại A nên ({S_{AB’I}} = frac{1}{2}.AB’.AI = frac{{{a^2}sqrt {10} }}{4}).

Vậy: (cos varphi = frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{AB’I}}}} = sqrt {frac{3}{{10}}} .)

Ví dụ 3: 

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi, SA=SC. Chứng minh rằng: ((SBD) bot (ABCD).) 

Hướng dẫn giải:

Ta có: (AC bot BD) (1) (giả thiết).

Mặt khác, (SO bot AC) (2) (SAC là tam giác cân tại A và O là trung điểm của AC nên SO là đường cao của tam giác).

Từ (1) và (2) suy ra: (AC bot (SBD)) mà (AC subset (ABCD)) nên ((SBD) bot (ABCD).)

Ví dụ 4:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, (AD = asqrt 2), (SA bot (ABCD)). Gọi M là trung điểm của AD, I là giao điểm của AC và BM. Chứng minh rằng: ((SAC) bot (SMB).)

Lời giải:

Ta có: (SA bot (ABCD) Rightarrow SA bot BM{rm{ (1)}}).

Xét tam giác vuông ABM có: (tan widehat {AMB} = frac{{AB}}{{AM}} = sqrt 2).

Xét tam giác vuông ACD có: (tan widehat {CAD} = frac{{CD}}{{AD}} = frac{1}{{sqrt 2 }}).

Ta có: 

(begin{array}{l} cot widehat {AIM} = cot ({180^0} – (widehat {AMB} + widehat {CAD}))\ = cot (widehat {AMB} + widehat {CAD}) = 0 Rightarrow widehat {AIM} = {90^0} end{array})

Hay (BM bot AC{rm{ (2)}}).

+ Từ (1) và (2) suy ra: (BM bot (SAC)) mà (BM subset (SAC)) nên ((SAC) bot (SMB).)