Giải Toán 7 Bài 2: Hai Đường Thẳng Vuông Góc, Hình Học 11

Nội dung bài học sẽ giúp các em nắm được các khái niệm vectơ trong không gian, vectơ chỉ phương của đường thẳng, góc giữa hai đường thẳng trong không gian và khái niệm hai đường thẳng vuông góc. Bên cạnh đó là các ví dụ minh họa sẽ giúp các em hình thành các kĩ năng giải bài tập liên quan đến tính góc, chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng vectơ.

Đang xem: Hai đường thẳng vuông góc

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1.Góc giữa haivectơ

1.2. Tích vô hướng của hai vectơ

1.3. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

1.4. Góc giữa hai đường thẳng

1.5. Hai đường thẳng vuông góc

2. Bài tập minh hoạ

3.Luyện tập bài 2 chương 3 hình học 11

3.1 Trắc nghiệm vềHai đường thẳng vuông góc

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao vềHai đường thẳng vuông góc

4.Hỏi đáp vềbài 2 chương 3 hình học 11

Cho (vec u)và (vec v)là hai vectơ trong không gian. Từ một điểm A bất kì vẽ (overrightarrow {AB} = overrightarrow u ,overrightarrow {AC} = overrightarrow v). Khi đó ta gọi góc (widehat {BAC}(0 le widehat {BAC} le {180^0}))là góc giữa hai vecto vectơ (vec u)và(vec v), kí hiệu là (left ( vec u ;vec v
ight )). Ta có:(left ( vec u ;vec v
ight )=widehat {BAC}).

*

a) Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ(vec u)và(vec v)đều khác vectơ-không là một số được kí hiệu là (vec u .vec v)xác dịnh bởi:

(overrightarrow u .overrightarrow v = left| {overrightarrow u }
ight|.left| {overrightarrow v }
ight|.c{
m{os(}}overrightarrow {
m{u}} .overrightarrow v ))

Nếu (vec u= vec0)hoặc (vec v= vec0)thì ta quy ước(vec u.vec v=0.)

b) Tính chấttích vô hướng của hai vectơ

READ:  Phiên Âm Tiếng Trung Trong Bảng Chữ Cái Nguyên Âm Và Phụ Âm, Cách Phát Âm Tiếng Trung Chuẩn Người Bản Xứ

Với ba vectơ(overrightarrow a ,overrightarrow b ,overrightarrow c)trong không gian và với mọi số k ta có:

(overrightarrow a .overrightarrow b = overrightarrow b .overrightarrow a)(tính chất giao hoán).(overrightarrow a (overrightarrow b + overrightarrow c ) = overrightarrow a .overrightarrow b + overrightarrow a .overrightarrow c)(tính chất phân phối).((k.overrightarrow a ).overrightarrow b = k.(overrightarrow a .overrightarrow b ) = overrightarrow a .koverrightarrow b .)({overrightarrow a ^2} ge 0,{overrightarrow a ^2} = 0 Leftrightarrow overrightarrow a = overrightarrow 0.)c) Ứng dụng của tích vô hướng

Xác định góc giữa hai vectơ(vec u)và(vec v)bằng (c{
m{os(}}overrightarrow {
m{u}} .overrightarrow v ))theo công thức:(c{
m{os(}}overrightarrow {
m{u}} .overrightarrow v ) = frac{{overrightarrow u .overrightarrow v }}{{left| {overrightarrow u }
ight|left| {overrightarrow v }
ight|}}).

1.3. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ (overrightarrow a
e overrightarrow 0)được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vectơ(overrightarrow a)song song hoặc trùng với đường thẳng d.

*

Nếu (overrightarrow a)là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì vectơ (koverrightarrow a)với (k
e 0)cũng là một vectơ chỉ phương của d.

Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn xác định được nếu biết một điểm A thuộc d và một vectơ chỉ phương (overrightarrow a)của d.

1.4. Góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm bất kì lần lượt song song với a và b.

Xem thêm: Mongodb Là Gì ? Cơ Sở Dữ Liệu Phi Quan Hệ Tổng Hợp Kiến Thức Tổng Quan Về Mongodb

*

1.5. Hai đường thẳng vuông góc

a) Định nghĩa

Hai đường thẳng a và b gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900. Ta kí hiệu là:(b ot a)hoặc(a ot b.)

b) Tính chấtNếu(vec u)và(vec v)lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b thì:(a ot b Leftrightarrow overrightarrow u .overrightarrow v = 0.)Cho hai đường thẳng song song. Nếu một đường thẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.Hai đường thẳng vuông góc nhau thì có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

READ:  Học Viện Y Học Cổ Truyền Việt Nam, Thư Viện Học Viện Y Dược Học Cổ Truyền Việt Nam

Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ sau đây:

a)(overrightarrow {AB} ,overrightarrow {EG} .)

c)(overrightarrow {AB} ,overrightarrow {DH}).

Hướng dẫn giải:

*

a) Vì EG // AC nên góc giữa(overrightarrow {AB} ,overrightarrow {EG})cũng bằng góc giữa(overrightarrow {AB})và(overrightarrow {AC})

Vậy(left( {overrightarrow {AB} ;overrightarrow {EG} }
ight) = left( {overrightarrow {AB} ;overrightarrow {AC} }
ight) = {45^0}.)

b) Vì AB // DG nên góc giữa(overrightarrow {AB} ,overrightarrow {DH})cũng bằng góc giữa(overrightarrow {DC})và(overrightarrow {DH})

Vậy(left( {overrightarrow {AB} ;overrightarrow {DH} }
ight) = left( {overrightarrow {AB} ;overrightarrow {DH} }
ight) = {45^0}.)

Ví dụ 2:

Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB =SC và có (widehat {{
m{ASB}}} = widehat {BSC} = widehat {CSA}.)

Chứng minh rằng:(SA ot BC, SBot AC, SC ot AB.)

Hướng dẫn giải:

Xét các tích vô hướng:(overrightarrow {SA} .overrightarrow {BC} ,overrightarrow {SB} .overrightarrow {AC} ,overrightarrow {SC} .overrightarrow {AB} .)

Ta có:

(egin{array}{l} overrightarrow {SA} .overrightarrow {BC} = overrightarrow {SA} .(overrightarrow {SC} – overrightarrow {SB} ) = overrightarrow {SA} .overrightarrow {SC} – overrightarrow {SA} .overrightarrow {SB} \ = left| {overrightarrow {SA} }
ight|.left| {overrightarrow {SC} }
ight|.c{
m{os}}widehat {{
m{CSA}}} – left| {overrightarrow {SA} }
ight|.left| {overrightarrow {SB} }
ight|c{
m{os}}widehat {{
m{ASB}}} end{array})

Theo giá thuyết:(left| {overrightarrow {SB} }
ight| = left| {overrightarrow {SC} }
ight|)

Và:(c{
m{os}}widehat {{
m{CSA}}} = c{
m{os}}widehat {{
m{ASB}}} Rightarrow overrightarrow {SA} .overrightarrow {BC} = 0)

Vậy:(SA ot BC.)

Chứng minh tương tự ta có:(SBot AC, SC ot AB.)

Ví dụ 3:

Cho tứ diện ABCD có AB⊥AC và AB⊥BD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng AB và PQ là hai đường thẳng vuông góc với nhau.

READ:  Hướng Dẫn Vẽ Hoa Sen Đơn Giản Mà Đẹp, Cách Vẽ Hoa Sen

Lời giải:

*

Ta có: (overrightarrow {PQ} = overrightarrow {PA} + overrightarrow {AC} + overrightarrow {CQ})

Và: (overrightarrow {PQ} = overrightarrow {PB} + overrightarrow {BD} + overrightarrow {DQ})

Do đó: (2overrightarrow {PQ} = overrightarrow {AC} + overrightarrow {BD})

Vậy:(2.overrightarrow {PQ} .overrightarrow {AB} = left( {overrightarrow {AC} + overrightarrow {BD} }
ight).overrightarrow {AB} = overrightarrow {AC} .overrightarrow {AB} + overrightarrow {BD} .overrightarrow {AB} = 0)

Hay (overrightarrow {PQ} .overrightarrow {AB} = 0)Tức là: (PQ ot AB.)

Ví dụ 4:

Cho tứ diện ABCD có AB=AC=AD=a, (widehat {BAC} = widehat {BAD} = {60^0}.).

a) Chứng minh rằng AB vuông góc CD.

Xem thêm: Tư Vấn Đặt Tên Con Có Tên Đệm Là Khánh Cho Con Hay, Ý Nghĩa Nhất

b) Nếu I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD thì (AB ot IJ.)

Hướng dẫn giải:

*

a) Ta có:

(egin{array}{l} overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} = overrightarrow {AB} left( {overrightarrow {AD} – overrightarrow {AC} }
ight) = overrightarrow {AB} .overrightarrow {AD} – overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} \ = left| {overrightarrow {AB} }
ight|.left| {overrightarrow {AD} }
ight|.cos BAD – left| {overrightarrow {AB} }
ight|.left| {overrightarrow {AC} }
ight|.cos BAC end{array})

Mặt khác ta có:(AB = AC = AD,widehat {BAC} = widehat {BAD})

Nên:(overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} = left| {overrightarrow {AB} }
ight|.left| {overrightarrow {AD} }
ight|.cos BAD – left| {overrightarrow {AB} }
ight|.left| {overrightarrow {AC} }
ight|.cos BAC = 0)

Vậy AB vuông góc với CD.

b)) Do I, J là trung điểm của AB và CD nên ta có:(overrightarrow {IJ} = frac{1}{2}left( {overrightarrow {AD} + overrightarrow {BC} }
ight))

Do đó:

(egin{array}{l} overrightarrow {AB} .overrightarrow {IJ} = frac{1}{2}left( {overrightarrow {AB} .overrightarrow {AD} + overrightarrow {AB} overrightarrow {BC} }
ight) = frac{1}{2}left( {overrightarrow {AB} .overrightarrow {AD} + overrightarrow {AB} overrightarrow {BA} + overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} }
ight)\ = frac{1}{2}left( {left| {overrightarrow {AB} }
ight|.left| {overrightarrow {AD} }
ight|cos {{60}^0} – {{overrightarrow {AB} }^2} + left| {overrightarrow {AB} }
ight|.left| {overrightarrow {AC} }
ight|cos {{60}^0}}
ight)\ = frac{1}{2}left( {frac{1}{2}{a^2} – {a^2} + frac{1}{2}{a^2}}
ight) = 0 end{array})

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Thông tin tổng hợp