Hai đường thẳng vuông góc | Doanhnhan.edu.vn

Ví dụ 1:

Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ sau đây:

a) (overrightarrow {AB} ,overrightarrow {EG} .)

c) (overrightarrow {AB} ,overrightarrow {DH}).

Hướng dẫn giải:

a) Vì EG // AC nên góc giữa (overrightarrow {AB} ,overrightarrow {EG}) cũng bằng góc giữa (overrightarrow {AB}) và (overrightarrow {AC})

Vậy (left( {overrightarrow {AB} ;overrightarrow {EG} } right) = left( {overrightarrow {AB} ;overrightarrow {AC} } right) = {45^0}.)

b)  Vì AB // DG nên góc giữa (overrightarrow {AB} ,overrightarrow {DH}) cũng bằng góc giữa (overrightarrow {DC}) và (overrightarrow {DH})

Vậy (left( {overrightarrow {AB} ;overrightarrow {DH} } right) = left( {overrightarrow {AB} ;overrightarrow {DH} } right) = {45^0}.)

Ví dụ 2:

Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB =SC và có (widehat {{rm{ASB}}} = widehat {BSC} = widehat {CSA}.)

Chứng minh rằng: (SA bot BC, SBbot AC, SC bot AB.)

Hướng dẫn giải:

Xét các tích vô hướng: (overrightarrow {SA} .overrightarrow {BC} ,overrightarrow {SB} .overrightarrow {AC} ,overrightarrow {SC} .overrightarrow {AB} .)

Ta có: 

(begin{array}{l} overrightarrow {SA} .overrightarrow {BC} = overrightarrow {SA} .(overrightarrow {SC} – overrightarrow {SB} ) = overrightarrow {SA} .overrightarrow {SC} – overrightarrow {SA} .overrightarrow {SB} \ = left| {overrightarrow {SA} } right|.left| {overrightarrow {SC} } right|.c{rm{os}}widehat {{rm{CSA}}} – left| {overrightarrow {SA} } right|.left| {overrightarrow {SB} } right|c{rm{os}}widehat {{rm{ASB}}} end{array})

Theo giá thuyết: (left| {overrightarrow {SB} } right| = left| {overrightarrow {SC} } right|)

Và: (c{rm{os}}widehat {{rm{CSA}}} = c{rm{os}}widehat {{rm{ASB}}} Rightarrow overrightarrow {SA} .overrightarrow {BC} = 0)

Vậy: (SA bot BC.)

Chứng minh tương tự ta có: (SBbot AC, SC bot AB.)

Ví dụ 3:

Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ AC và AB ⊥ BD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng AB và PQ là hai đường thẳng vuông góc với nhau.

Lời giải:

Ta có: (overrightarrow {PQ} = overrightarrow {PA} + overrightarrow {AC} + overrightarrow {CQ})  

Và: (overrightarrow {PQ} = overrightarrow {PB} + overrightarrow {BD} + overrightarrow {DQ})  

Do đó: (2overrightarrow {PQ} = overrightarrow {AC} + overrightarrow {BD})  

Vậy: (2.overrightarrow {PQ} .overrightarrow {AB} = left( {overrightarrow {AC} + overrightarrow {BD} } right).overrightarrow {AB} = overrightarrow {AC} .overrightarrow {AB} + overrightarrow {BD} .overrightarrow {AB} = 0)

Hay (overrightarrow {PQ} .overrightarrow {AB} = 0) Tức là: (PQ bot AB.)

Ví dụ 4:

Cho tứ diện ABCD có AB=AC=AD=a, (widehat {BAC} = widehat {BAD} = {60^0}.).

a) Chứng minh rằng AB vuông góc CD.

b) Nếu I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD thì (AB bot IJ.)  

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

(begin{array}{l} overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} = overrightarrow {AB} left( {overrightarrow {AD} – overrightarrow {AC} } right) = overrightarrow {AB} .overrightarrow {AD} – overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} \ = left| {overrightarrow {AB} } right|.left| {overrightarrow {AD} } right|.cos BAD – left| {overrightarrow {AB} } right|.left| {overrightarrow {AC} } right|.cos BAC end{array})

Mặt khác ta có: (AB = AC = AD,widehat {BAC} = widehat {BAD})

Nên: (overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} = left| {overrightarrow {AB} } right|.left| {overrightarrow {AD} } right|.cos BAD – left| {overrightarrow {AB} } right|.left| {overrightarrow {AC} } right|.cos BAC = 0)

Vậy AB vuông góc với CD.

b) ) Do I, J là trung điểm của AB và CD nên ta có: (overrightarrow {IJ} = frac{1}{2}left( {overrightarrow {AD} + overrightarrow {BC} } right))

Do đó: 

(begin{array}{l} overrightarrow {AB} .overrightarrow {IJ} = frac{1}{2}left( {overrightarrow {AB} .overrightarrow {AD} + overrightarrow {AB} overrightarrow {BC} } right) = frac{1}{2}left( {overrightarrow {AB} .overrightarrow {AD} + overrightarrow {AB} overrightarrow {BA} + overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} } right)\ = frac{1}{2}left( {left| {overrightarrow {AB} } right|.left| {overrightarrow {AD} } right|cos {{60}^0} – {{overrightarrow {AB} }^2} + left| {overrightarrow {AB} } right|.left| {overrightarrow {AC} } right|cos {{60}^0}} right)\ = frac{1}{2}left( {frac{1}{2}{a^2} – {a^2} + frac{1}{2}{a^2}} right) = 0 end{array})

Vậy AB và IJ vuông góc nhau.