Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song | Doanhnhan.edu.vn

1.1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

Cho hai đường thẳng (a) và (b) trong không gian. Có các trường hợp sau đây xảy ra đối với (a) và (b):

Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa cả (a) và (b,) khi đó theo kết quả   tronh hình học phẳng ta có ba khả năng sau:

  • (a) và (b) cắt nhau tại điểm (M), ta kí hiệu (a cap b = M.)
  • (a) và (b) song song với nhau, ta kí hiệu (a//b).
  • (a) và (b) trùng nhau, ta kí hiệu (a equiv b).

Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa cả (a) và (b), khi đó ta nói (a) và (b) là hai đường thẳng chéo nhau.

1.2. Các định lí và tính chất

  • Trong không gian, qua một điểm cho trước không nằm trên đường thẳng (a) có một và chỉ một đường thẳng song song với (a).
  • Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó hoặc đồng qui hoặc đôi một song song.
  • Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
  • Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song.
READ:  Quá trình dựng nước và giữ nước | Doanhnhan.edu.vn

Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song

Bài toán 1: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT BẰNG QUAN HỆ SONG SONG

Phương pháp:

Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng (left( alpha  right)) và (left( beta  right)) có điểm chung (M)và lần lượt chứa hai đường thẳng song song (d) và (d’) thì giao tuyến của (left( alpha  right)) và (left( beta  right)) là đường thẳng đi qua (M) song song với (d) và (d’).

Ví dụ 1:

Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy (ABCD) là hình thang với các cạnh đáy là (AB) và (CD). Gọi (I,J) lần lượt là trung điểm của các cạnh (AD) và (BC) và (G) là trọng tâm của tam giác (SAB).

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (left( {SAB} right)) và (left( {IJG} right)).

b) Tìm điều kiện của (AB) và (CD) để thiết diện của (left( {IJG} right)) và hình chóp là một hình bình hành.

Hướng dẫn:

a) Ta có (ABCD) là hình thang và (I,J) là trung điểm của (AD,BC) nên (IJ//AB).

Vậy  (left{ begin{array}{l}G in left( {SAB} right) cap left( {IJG} right)\AB subset left( {SAB} right)\IJ subset left( {IJG} right)\A//IJend{array} right.)

( Rightarrow left( {SAB} right) cap left( {IJG} right) = MN//IJ//AB) với

(M in SA,N in SB).

b) Dễ thấy thiết diện là tứ giác (MNJI).

Do (G) là trọng tâm tam giác (SAB) và (M//AB)nên (frac{{MN}}{{AB}} = frac{{SG}}{{SE}} = frac{2}{3})

((E) là trung điểm của (AB)).

( Rightarrow MN = frac{2}{3}AB).

Lại có (IJ = frac{1}{2}left( {AB + CD} right)). Vì (MN//IJ) nên (MNIJ) là hình thang, do đó  (MNIJ) là hình bình hành khi (MN = IJ)

READ:  Unit 4 lớp 12 Writing | Doanhnhan.edu.vn

( Leftrightarrow frac{2}{3}AB = frac{1}{2}left( {AB + CD} right) Leftrightarrow AB = 3CD).

Vậy thết diện là hình bình hành khi (AB = 3CD).

Bài toán 2: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

Phương pháp:

Để chứng minh hai đường thẳng song song ta có thể làm theo một trong các cách sau:

  • Chứng minh chúng cùng thuộc một mặt phẳng rồi dùng các phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song trong mặt phẳng.
  • Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song vơi đường thẳng thứ ba.
  • Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
  • Sử dụng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng.

Ví dụ 2:

Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy (ABCD) là một hình thang với đáy lớn (AB). Gọi (M,N) lần lượt là trung điểm của (SA) và (SB).

a) Chứng minh MN//CD.

b) Gọi (P) là giao điểm của (SC) và (left( {ADN} right)), (I) là giao điểm của (AN) và (DP). Chứng minh SI//CD.

Hướng dẫn:

a) Ta có (MN) là đường trung bình của tam giác (SAB) nên (MN//AB).

Lại có (ABCD) là hình thang ( Rightarrow AB//CD).

Vậy (left{ begin{array}{l}MN//AB\CD//ABend{array} right. Rightarrow MN//CD).

b) Trong (left( {ABCD} right)) gọi (E = AD cap BC), trong (left( {SCD} right)) gọi (P = SC cap EN).

Ta có (E in AD subset left( {ADN} right)) ( Rightarrow EN subset left( {AND} right) Rightarrow P in left( {ADN} right)).

Vậy (P = SC cap left( {ADN} right)).

READ:  Chế biến và dữ trữ thức ăn cho vật nuôi | Doanhnhan.edu.vn

Do (I = AN cap DP Rightarrow left{ begin{array}{l}I in AN\I in DPend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}I in left( {SAB} right)\I in left( {SCD} right)end{array} right. Rightarrow SI = left( {SAB} right) cap left( {SCD} right)).

Ta có (left{ begin{array}{l}AB subset left( {SAB} right)\CD subset left( {SCD} right)\AB//CD\left( {SAB} right) cap left( {SCD} right) = SIend{array} right. Rightarrow SI//CD).

Bài toán 3: CHỨNG MINH BỐN ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG VÀ BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUI

Phương pháp:

Để chứng minh bốn điểm (A,B,C,D) đồng phẳng ta tìm hai đường thẳng (a,b) lần lượt đi qua hai trong bốn điểm trên và chứng minh (a,b) song song hoặc cắt nhau, khi đó (A,B,C,D) thuôc (mpleft( {a,b} right)).

Để chứng minh ba đường thẳng (a,b,c)đồng qui ngoài cách chứng minh ở §1, ta có thể chứng minh (a,b,c) lần lượt là giao tuyến của hai trong ba mặt phẳng (left( alpha  right),left( beta  right),left( delta  right)) trong đó có hai giao tuyến cắt nhau. Khi đó theo tính chất về giao tuyến của ba mặt phẳng ta được (a,b,c) đồng qui.

Ví dụ 3:

Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy (ABCD) là một tứ giác lồi. Gọi (M,N,E,F) lần lượt là trung điểm của các cạnh bên (SA,SB,SC) và (SD).

a) Chứng minh (ME,NF,SO)đồng quy.

b) Chứng minh M, N, E, F đồng phẳng.

Hướng dẫn:

a) Trong (left( {SAC} right)) gọi (I = ME cap SO), dễ thấy (I) là trung điểm của (SO), suy ra (FI) là đường trung bình của tam giác (SOD).

Vậy (FI//OD).       

Tương tự ta có (NI//OB) nên (N,I,F) thẳng hàng hay (I in NF).

Vậy (ME,NF,SO) đồng qui.

b) Do (ME cap NF = I) nên (ME) và (NF) xác định một mặt phẳng.

Suy ra  (M,N,E,F) đồng phẳng.

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Học tập