Bảng Công Thức Nguyên Hàm – 10 Công Thức Nguyên Hàm Và Tích Phân Ý Tưởng

1. Nguyên hàm là gì?

Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F”(x) = f(x) với mọi x ∈ K.

Đang xem: Công thức nguyên hàm

2. Tính chất nguyên hàm

Nguyên hàm có 3 tính chất quan trọng cần nhớ:

*

2. Bảng nguyên hàm

a) Bảng công thức nguyên hàm cơ bản

*

b) Bảng nguyên hàm mở rộng

*

3. Các phương pháp tính nguyên hàm

Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản

Dạng 2. Sử dụng phương pháp ĐỔI BIẾN để tìm nguyên hàm

a) Đổi biến tổng quát

Bước 1: Chọn t = φ(x). Trong đó φ(x) là hàm số mà ta chọn thích hợp.Bước 2: Tính vi phân hai về dt = φ”(x)dxBước 3: Biểu thị f(x)dx = g<φ(x)>φ”(x)dx = g(t)dt.Bước 4: Khi đó $I = int {fleft( x
ight)dx} $ $ = int {gleft( t
ight)dt} $ $ = Gleft( t
ight) + C$

Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số $I = int {frac{1}{{xsqrt {ln x + 1} }}dx} $

Hướng dẫn giải

Bước 1: Chọn $t = sqrt {ln x + 1} Rightarrow {t^2} = ln x + 1$Bước 2: Tính vi phân hai về dt = – 3sinx.dxBước 3: Biểu thị $int {fleft( x
ight)dx} = – frac{1}{3}int {frac{1}{t}.dt} $Bước 4: Khi đó $I = – frac{1}{3}ln left| t
ight| + C$ $ = – frac{1}{3}ln left| {1 + 3cos x}
ight| + C$

READ:  Mẫu Giấy Xác Nhận Nhân Thân Nhân Để Đi Máy Bay, Mẫu Giấy Xác Nhận Thân Nhân Để Đi Máy Bay

b) Đổi biến dạng 1

*

c) Đổi biến dạng 2

*

Dạng 3. Nguyên hàm từng phần

*

Nguyên tắc chung để đặt u và dv: Tìm được v dễ dàng và ∫v.du tính được

Nhấn mạnh: Thứ tự ưu tiên khi chọn đặt u: “Nhất lô, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” (hàm lôgarit, hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ).

Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x.e2x

Hướng dẫn giải

Bước 1: Đặt $left{ egin{array}{l} u = ln left( {2x}
ight)\ dv = x.dx end{array}
ight. Rightarrow left{ egin{array}{l} du = frac{1}{x}\ v = frac{{{x^2}}}{2} end{array}
ight.$

Bước 2: Ta thấy $Fleft( x
ight) = int {fleft( x
ight)} dx$ $ = frac{{{x^2}}}{2}.ln left( {2x}
ight) – int {frac{1}{x}.frac{{{x^2}}}{2}} dx$ $ = frac{{{x^2}}}{2}.ln left( {2x}
ight) – frac{{{x^2}}}{4} + C$ $ = frac{{{x^2}}}{2}.left( {ln left( {2x}
ight) – frac{1}{2}}
ight) + C$

Dạng 4. cách tính nguyên hàm bằng máy tính

Cho nguyên hàm $int {fleft( x
ight)dx} $ = F(x) + C. Hãy tìm f(x) hoặc F(x)

Hướng dẫn

Để giải, mình sẽ hướng dẫn cách bấm máy tính nguyên hàm nhanh theo 3 bước sau:

Bước 1: Nhấn shift $frac{d}{{dx}}left( {Fleft( x
ight)}
ight){|_{x = X}} – fleft( X
ight)$

Bước 2: Nhấn phím Calc nhập X = 2.5

Bước 3: Đánh giá nghiệm

Nếu kết quả bằng 0 (gần bằng 0 ) thì đó là đáp án cần chọn

Ví dụ: Tìm tất cả nghiệm của hàm số f(x) = $frac{1}{{2x + 3}}$ là

A. $frac{1}{2}.lnleft| {2x + 3}
ight| + C$

B. $frac{1}{2}.lnleft( {2x + 3}
ight) + C$

C. ln|2x + 3| + C

D. $frac{1}{{ln 2}}.$ln|2x + 3| + C

Hướng dẫn bấm máy tính

Bước 1: Nhập vào máy tính casio $frac{d}{{dx}}left( {frac{1}{2}.ln left( {left| {2x + 3}
ight|}
ight)}
ight){|_{x = X}} – frac{1}{{2x + 3}}$

Bước 2: CALC X = -2

Lưu ý: Trong kết quả A và C nếu cho X = 2 thì đều cho kết quả là 0. Vậy khi có trị tuyệt đối thì cho X một giá trị cho biểu thức trong trị tuyệt đối âm.

READ:  Top 10 Trung Tâm Tiếng Trung Tâm Tiếng Trung Sofl, Thanhmaihsk

Kết luận: Chọn đáp án A.

Xem thêm: Bản Vẽ Thiết Kế Nhà Diện Tích 4X15M Đẹp Hiện Đại, Đầy Đủ Công Năng

Dạng 5. Tính nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm dạng $left< egin{array}{l} I = int {P(x)sin axdx} \ I = int {P(x)c{ m{osaxdx}}} end{array} ight.$ với $P(x)$ là một đa thứcTa lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Sử dụng nguyên hàm từng phần, thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Đặt: $left{ egin{array}{l} u = P(x)\ dv = left< egin{array}{l} {mathop{ m s} olimits} { m{inaxdx}}\ { m{cosaxdx}} end{array} ight. end{array} ight.$ $ o left{ egin{array}{l} du = P"(x)dx\ v = left< egin{array}{l} frac{{ – 1}}{a}c{ m{osax}}\ frac{{ m{1}}}{{ m{a}}}sin ax end{array} ight. end{array} ight.$Bước 2: Thay vào công thức nguyên hàm từng phần.Bước 3: Tiếp tục thủ tục như trên ta sẽ khử được bậc của đa thức.

Xem thêm: Tính Diện Tích Hình Tròn Có Đường Kính Hoặc Chu Vi, Diện Tích Hình Tròn Là Gì

Cách 2: Sử dụng phương pháp hệ số bất định, thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Ta có: $I = int {P(x)c{
m{osaxdx}}} $ ${{
m{ = A(x)sinax + B(x)cosax + C}}}$ $(1)$, trong đó $A(x)$ và $B(x)$ là các đa thức cùng bậc với $P(x).$ Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế của $(1)$: $P(x)c{
m{osax}}$ ${
m{ = A”(x)cosax – A(x)a}}{
m{.sinax}}$ ${
m{ + B”(x)sinax + aB(x)cosax}}.$Bước 3: Sử dụng phương pháp hệ số bất định ta xác định được $A(x)$ và $B(x).$

Nhận xét: Nếu bậc của đa thức lớn hơn $3$ thì cách 1 tỏ ra cồng kềnh, vì khi đó ta thực hiện số lần nguyên hàm từng phần bằng với số bậc của đa thức, cho nên ta đi đến nhận định như sau:

Nếu bậc của đa thức nhỏ hơn hoặc bằng $2$: Ta sử dụng cách 1.Nếu bậc của đa thức lớn hơn hoặc bằng $3$: Ta sử dụng cách 2.

READ:  Hàm Số Liên Tục - Cách Xét Tính Liên Tục Của Hàm Số Cực Hay

Ví dụ: Tìm nguyên hàm $int {x{{sin }^2}xdx} .$

Giải

Ta có: $I = int {xleft( {frac{{1 – c{
m{os2x}}}}{2}}
ight)dx} $ ${ = frac{1}{2}int {xdx} – frac{1}{2}int {xcos 2xdx} }$ ${ = frac{1}{4}{x^2} – frac{1}{2}J}$ $(1).$

Tính: $J = int {xcos 2xdx} .$

Đặt: $left{ egin{array}{l} u = x\ dv = c{
m{os2xdx}} end{array}
ight.$ $ o left{ egin{array}{l} du = dx\ v = frac{1}{2}sin 2x end{array}
ight.$ $ Rightarrow J = frac{x}{2}sin 2x – frac{1}{2}int {sin 2xdx} $ ${ = frac{x}{2}sin 2x + frac{1}{4}c{
m{os2x + C}}}.$

Thay vào $(1)$: $I = frac{1}{4}{x^2} – frac{1}{2}left( {frac{x}{2}sin 2x + frac{1}{4}c{
m{os2x}}}
ight)$ $ = frac{1}{4}left( {{x^2} – xsin 2x – frac{1}{2}c{
m{os2x}}}
ight) + C.$

3. Bài tập nguyên hàm

Bài tập 2: Tìm nguyên hàm $I = int {left( {{x^3} – {x^2} + 2x – 3}
ight){mathop{
m s}
olimits} {
m{inx}}dx} .$

Giải

Theo nhận xét trên, ta sử dụng phương pháp hệ số bất định. Ta có: $I = int {left( {{x^3} – {x^2} + 2x – 3}
ight){mathop{
m s}
olimits} {
m{inx}}dx} $ $ = left( {{a_1}{x^3} + {b_1}{x^2} + {c_1}x + {d_1}}
ight)c{
m{osx}}$ ${
m{ + }}left( {{a_2}{x^3} + {b_2}{x^2} + {c_2}x + {d_2}}
ight){mathop{
m s}
olimits} {
m{inx}}$ $(1).$

Lấy đạo hàm hai vế của $(1)$:

$ Leftrightarrow left( {{x^3} – {x^2} + 2x – 3}
ight){mathop{
m s}
olimits} {
m{inx}}$ ${
m{ = <}}{{ m{a}}_{ m{2}}}{x^3} + left( {3{a_1} + {b_2}} ight){x^2}$ $ + left( {2{b_1} + {c_2}} ight)x + {c_1} + {d_2}{ m{>cosx}}$$ – <{{ m{a}}_{ m{1}}}{x^3} – left( {3{a_2} – {b_1}} ight){x^2}$ $ – left( {2{b_2} – {c_1}} ight)x + {c_2} – {d_1}>sin x$ $(2).$

Đồng nhất thức ta được: $left{ egin{array}{l} {a_2} = 0\ 3{a_1} + {b_2} = 0\ 2{b_1} + {c_2} = 0\ {c_1} + {d_2} = 0 end{array}
ight.$ và $left{ egin{array}{l} – {a_1} = 1\ 3{a_2} – {b_1} = – 1\ 2{b_2} – {c_1} = 2\ – {c_2} + {d_1} = – 3 end{array}
ight.$ $ Rightarrow left{ egin{array}{l} {a_1} = – 1;{a_2} = 0\ {b_1} = 1;{b_2} = 3\ {c_1} = 4;{c_2} = – 2\ {d_1} = 1;{d_2} = – 4 end{array}
ight.$

Khi đó: $I = left( { – {x^3} + {x^2} + 4x + 1}
ight)c{
m{osx}}$ ${
m{ + }}left( {{
m{3}}{{
m{x}}^{
m{2}}} – 2x + 4}
ight){mathop{
m s}
olimits} {
m{inx + C}}.$

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Thông tin tổng hợp