Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), H là trực tâm của tâm giác ABC. | Doanhnhan.edu.vn

1. Gọi giao điểm của CH với AB là I,  AH với BC là K

Ta có tứ giác BIHK nội tiếp ( Rightarrow Ihat BK + Khat HI = {180^0})

mà (Khat HI = Ahat HC Rightarrow Ihat BK + Ahat HC = {180^0}) (1)

Ta lại có (Ihat BK = Ahat MC) (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)

(Ahat MC = Ahat PC) (t/c đối xứng)  ( Rightarrow Ihat BK = Ahat PC)  (2)

Từ (1) và (2)   ( Rightarrow Ahat PC + Ahat HC = {180^0})

Suy ra tứ giác AHCP nội tiếp.

2. Tứ giác AHCP nội tiếp ( Rightarrow Ahat HP = Ahat CP = Ahat CM)

Ta lại có  (Ahat CM + Ahat BM = {180^0} Rightarrow Ahat HP + Ahat BM = {180^0})   mà  (Ahat BM = Ahat BN)

( Rightarrow Ahat HP + Ahat BN = {180^0})   (3)

Chứng minh tương tự câu 1) ta có tứ giác AHBN nội tiếp

    ( Rightarrow Ahat BN = Ahat HN)   (4)

Từ (3) và (4) ( Rightarrow Ahat HP + Ahat HN = {180^0} Rightarrow ) N, H, P thẳng hàng

3. (Mhat AN = 2Bhat AM;Mhat AP = 2Mhat AC)

=> (Nhat AP = 2(Bhat AM + Mhat AC) = 2Bhat AC) (<180) không đổi

Có AN = AM = AP, cần chứng minh NP = 2.AP.sinBAC

 => NP lớn nhất <=>  AP lớn nhất mà AP = AM 

AM lớn nhất  <=> AM là đường kính của đường tròn (O)

Vậy NP lớn nhất <=>  AM là đường kính của đường tròn.