Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ một điểm M ở ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Qua A, kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường tròn tại E (E khác A), đường thẳng ME cắt đường tròn tại F (F khác E), đường thẳng AF cắt MO tại N, H là giao điểm của MO và AB. | Doanhnhan.edu.vn

1) Vì MA, MB là các tiếp tuyến của (O) tại A và B nên:

    (widehat {MAO} = widehat {MBO} = {90^0})

Tứ giác MAOB có (widehat {MAO} + widehat {MBO} = {180^0})

Mà hai góc ở vị trí đối nhau.

( Rightarrow ) Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.

2) Ta có: ({widehat M_1} = {widehat E_1}) (so le trong, AE // MO) và ({widehat A_1} = {widehat E_1}left( { = frac{1}{2}sdAF} right))

( Rightarrow {widehat M_1} = {widehat A_1})

(Delta NMF) và (Delta NAM) có: (widehat {MNA}) chung; ({widehat M_1} = {widehat A_1})

( Rightarrow  Delta NMF) đồng dạng(Delta NAM) (g.g)

( Rightarrow frac{{NM}}{{NA}} = frac{{NF}}{{NM}} Rightarrow N{M^2} = NF.NA)

Có MA = MB (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và OA = OB = R

( Rightarrow ) MO là đường trung trực của AB

( Rightarrow AH bot MO) và HA = HB

(Delta MAF) và (Delta MEA) có: (widehat {AME}{rm{ }}) chung; ({widehat A_1} = {widehat E_1})

( Rightarrow Delta MAF) đồng dạng (Delta MEA) (g.g)

( Rightarrow frac{{MA}}{{ME}} = frac{{MF}}{{MA}} Rightarrow M{A^2} = MF.ME)

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông MAO, có: MA² = MH.MO

Do đó: ME.MF = MH.MO ( Rightarrow frac{{ME}}{{MH}} = frac{{MO}}{{MF}})

( Rightarrow Delta MFH) đồng dạng (Delta MOE) (c.g.c)

( Rightarrow {widehat H_1} = {widehat E_2})

Vì (widehat {BAE}) là góc vuông nội tiếp (O) nên E, O, B thẳng hàng

(begin{array}{l}
 Rightarrow {widehat E_2} = {widehat A_2}{rm{ }}left( {{rm{ = }}frac{1}{2}{{sd EB}}} right)\
 Rightarrow {widehat H_1} = {widehat A_2}\
 Rightarrow {widehat N_1} + {widehat H_1} = {widehat N_1} + {widehat A_2} = {90^0}\
 Rightarrow HF bot NA
end{array})

Áp dụng hệ thức lượng vào  vuông NHA, có: NH² = NF.NA

( Rightarrow N{M^2} = N{H^2} Rightarrow NM = NH)

3) Áp dụng hệ thức lượng vào  vuông NHA, có: HA² = FA.NA và HF² = FA.FN

Mà HA = HB

( Rightarrow frac{{H{B^2}}}{{H{F^2}}} = frac{{H{A^2}}}{{H{F^2}}} = frac{{FA.NA}}{{FA.FN}} = frac{{NA}}{{NF}})

Vì AE // MN nên (frac{{EF}}{{MF}} = frac{{FA}}{{NF}}) (hệ quả của định lí Ta-lét)

( Rightarrow frac{{H{B^2}}}{{H{F^2}}} – frac{{EF}}{{MF}} = frac{{NA}}{{NF}} – frac{{FA}}{{NF}} = frac{{NF}}{{NF}} = 1)