Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn | Doanhnhan.edu.vn

DẠNG TOÁN 1: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG (ax + b < 0)

Ví dụ:

Biện luận nghiệm của bất phương trình theo m:

a) (mx + 6 le 2x + 3m)

b)  (left( {x + m} right)m + x > 3x + 4)

c) (left( {{m^2} + 9} right)x + 3 ge mleft( {1 – 6x} right))

Hướng dẫn:

a) Bất phương trình tương đương với (left( {m – 2} right)x < 3m - 6)

Với (m = 2) bất phương trình trở thành (0x le 0)suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi (x).

Với (m > 2) bât phương trình tương đương với (x < frac{{3m - 6}}{{m - 2}} = 3)

Với (m < 2) bât phương trình tương đương với (x > frac{{3m – 6}}{{m – 2}} = 3)

Kết luận

(m = 2) bất phương trình nghiệm đúng với mọi (x)(có tập nghiệm là (S = mathbb{R})).

(m > 2) bât phương trình có nghiệm là (x < 3)(có tập nghiệm là (S = left( { - infty ;3} right)))

(m < 2) bât phương trình có nghiệm là (x > 3)(có tập nghiệm là (S = left( {3; + infty } right)))

b) Bất phương trình tương đương với (left( {m – 2} right)x > 4 – {m^2})

READ:  Thực hành một số phép tu từ cú pháp | Doanhnhan.edu.vn

Với (m = 2) bất phương trình trở thành (0x > 0)suy ra bất phương trình vô nghiệm.

Với (m > 2) bât phương trình tương đương với (x > frac{{4 – {m^2}}}{{m – 2}} =  – m – 2)

Với (m < 2) bât phương trình tương đương với (x < frac{{4 - {m^2}}}{{m - 2}} =  - m - 2)

Kết luận

(m = 2) bất phương trình vô nghiệm

(m > 2) bât phương trình có nghiệm là (x >  – m – 2)

(m < 2) bât phương trình có nghiệm là (x <  - m - 2)

c) Bất phương trình tương đương với ({left( {m + 3} right)^2}x ge m – 3)

Với (m =  – 3) bất phương trình trở thành (0x ge  – 6)suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi (x).

Với (m ne  – 3) bât phương trình tương đương với (x ge frac{{m – 3}}{{{{left( {m + 3} right)}^2}}})

Kết luận

(m =  – 3) bất phương trình nghiệm đúng với mọi (x).

(m ne  – 3) bât phương trình có nghiệm là (x ge frac{{m – 3}}{{{{left( {m + 3} right)}^2}}}).

DẠNG TOÁN 2: GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

Ví dụ 1:

Giải các hệ bất phương trình sau:

a) (left{ begin{array}{l}5x – 2 > 4x + 5\5x – 4 < x + 2end{array} right.)

b) (left{ begin{array}{l}6x + frac{5}{7} < 4x + 7\frac{{8x + 3}}{2} < 2x + 5end{array} right.)

c) (left{ begin{array}{l}x – 1 le 2x – 3\3x < x + 5\frac{{5 - 3x}}{2} le x - 3end{array} right.)

Hướng dẫn:

a) Hệ bất phương trình tương đương với

(left{ begin{array}{l}5x – 2 > 4x + 5\5x – 4 < x + 2end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 7\x < frac{3}{2}end{array} right.)

Suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm.

READ:  Tổ hợp tuyến tính, độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính | Doanhnhan.edu.vn

b) Hệ bất phương trình tương đương với

(left{ begin{array}{l}6x + frac{5}{7} < 4x + 7\frac{{8x + 3}}{2} < 2x + 5end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x < frac{{22}}{7}\x < frac{7}{4}end{array} right. Leftrightarrow x < frac{7}{4})

Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là (x < frac{7}{4})

d) Hệ bất phương trình tương đương với (left{ begin{array}{l}x ge 2\x < frac{5}{2}\x ge frac{{11}}{5}end{array} right. Leftrightarrow frac{{11}}{5} le x le frac{5}{2})

Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là  (frac{{11}}{5} le x le frac{5}{2}).

Ví dụ 2:

Tìm (m) để hệ bất phương trình (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{mleft( {mx – 1} right) < 2}\{mleft( {mx - 2} right) ge 2m + 1}end{array}} right.) có nghiệm.

Hướng dẫn:

Hệ bất phương trình tương đương với (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{{m^2}x < m + 2}\{{m^2}x ge 4m + 1}end{array}} right.)

Với (m = 0) ta có hệ bất phương trình trở thành (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{0x < 2}\{0x ge 1}end{array}} right.) suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm

Với (m ne 0) ta có hệ bất phương trình tương đương với (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{x < frac{{m + 2}}{{{m^2}}}}\{x ge frac{{4m + 1}}{{{m^2}}}}end{array}} right.)

Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi (frac{{m + 2}}{{{m^2}}} > frac{{4m + 1}}{{{m^2}}} Leftrightarrow m < frac{1}{3})

Vậy (m < frac{1}{3}) là giá trị cần tìm.

DẠNG TOÁN 3: BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN.

Ví dụ:

Cho bất phương trình  (sqrt {x – 1} (x – 2m + 2) ge 0)

a) Giải bất phương trình khi (m = 2)

b) Tìm (m) để mọi (x in left[ {2;3} right]) đều là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Hướng dẫn:

a) Khi (m = 2) bất phương trình trở thành (sqrt {x – 1} (x – 2) ge 0)

READ:  50 câu trắc nghiệm về đảo ngữ trong Tiếng Anh có đáp án | Doanhnhan.edu.vn

Bất phương trình tương đương với (left[ {begin{array}{*{20}{c}}{sqrt {x – 1}  = 0}\{left{ begin{array}{l}x – 1 ge 0\x – 2 ge 0end{array} right.}end{array}} right.)

( Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\{left{ {begin{array}{*{20}{c}}{x ge 1}\{x ge 2}end{array}} right.}end{array}} right. Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\{x ge 2}end{array}} right.)

Vậy tập nghiệm bất phương trình là ({rm{S}} = left{ 1 right} cup {rm{[}}2; + infty )).

b) Bất phương trình tương đương với (left[ {begin{array}{*{20}{c}}{sqrt {x – 1}  = 0}\{left{ begin{array}{l}x – 1 ge 0\x – 2m + 2 ge 0end{array} right.}end{array}} right.)( Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\{left{ begin{array}{l}x ge 1\x ge 2m – 2end{array} right.}end{array}} right.)

+ TH1: (2m – 2 > 1 Leftrightarrow m > frac{3}{2}): Ta có bất phương trình( Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\{x ge 2m – 2}end{array}} right.)

Suy ra tập nghiệm bất phương trình là (S = left{ 1 right} cup [2m – 2; + infty )).

Do đó mọi (x in left[ {2;3} right]) đều là nghiệm của bất phương trình (*)

( Leftrightarrow left[ {2;3} right] subset S Leftrightarrow 2m – 2 le 2 Leftrightarrow m le 2)

Suy ra (frac{3}{2} < m le 2) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

+ TH2: (2m – 2 = 1 Leftrightarrow m = frac{3}{2}): Ta có bất phương trình( Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\{x ge 1}end{array} Leftrightarrow x ge 1} right.)

Suy ra (m = frac{3}{2}) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

+ TH3: (2m – 2 < 1 Leftrightarrow m < frac{3}{2}): Ta có bất phương trình( Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\{x ge 1}end{array} Leftrightarrow x ge 1} right.)

Suy ra (m < frac{3}{2})thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy giá trị cần tìm là (m le 2).

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Học tập