Bài tập 5 trang 10 SGK Giải tích 12 | Doanhnhan.edu.vn

Phương pháp giải:

Với dạng bài tập ở bài 5 chứng minh (g(x)>h(x)) với x thuộc một miền cho trước ta thường tiến hành như sau:

Bước 1: (g(x)>h(x)Leftrightarrow g(x)-h(x)>0.)

Bước 2: Đặt (f(x)=h(x)-g(x)), khảo sát tính đơn điệu của hàm số (f(x)).

Bước 3: Tìm x để (f(x)=0) (thường là hai đầu mút của miền đang xét). 

Bước 4: Từ tính đơn điệu của hàm số (f(x)) đưa ra kết luận cho bài toán.

Lời giải:

Ta áp dụng các bước trên để giải câu a, b bài 5:

Câu a:

Để chứng minh (tanx >x) với mọi (0 < x < frac{pi }{2}) ta chứng minh tanx - x > 0 với mọi (0 < x < frac{pi }{2}) 

Trước tiên ta cần kiểm tra xem có tồn tại giá trị nào của x đề tanx-x=0 hay không, mà trước hết ta cần thử với hai giá trị là x=0 và (x=frac{pi}{2}.)

Dễ thấy: (tan(0)-0=0.)

Khi đó ta tiến hành mở rộng khoảng đang xét thành nửa khoảng, cụ thể lời giải chi tiết như sau:

Xét hàm số f(x)= tanx–x liên tục trên nửa khoảng (left [0;frac{pi}{2} right ))

(f'(x) = frac{1}{{{{cos }^2}x}} – 1 > 0) với mọi (xinleft ( 0;frac{pi}{2} right )).

(f'(x)=0Leftrightarrow x=0.)

Bảng biến thiên:

 

Vậy hàm số đồng biến trên (left [0;frac{pi}{2} right )).

Vậy với (0 < x < frac{pi }{2}) ta có (fleft( x right) > fleft( 0 right) = 0 Rightarrow tanx > x) với mọi (xinleft ( 0;frac{pi}{2} right )).

Câu b:

Chứng minh (tan x > x +frac{x^3}{3} (0 < x < frac{pi }{2}))

Tương tự câu a.

Xét hàm số (g(x) = tan x – x – frac{{{x^3}}}{3}) liên tục trên (left[ {0;frac{pi }{2}} right)) có đạo hàm:

READ:  Thực hành Đọc, phân tích lược đồ, biểu đồ nhiệt độ và lượng mưa Châu Âu | Doanhnhan.edu.vn

(g'(x) = frac{1}{{{{cos }^2}x}} – 1 – {x^2} = {tan ^2}x – {x^2})

(= (tanx – x)(tanx + x) > 0,,forall x in left( {0;frac{pi }{2}} right))  (Theo câu a)

(g'(x)=0Leftrightarrow x=0.)

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên (left[ {0;frac{pi }{2}} right)).

Vậy với (0 < x < frac{pi }{2}) ta có (gleft( x right) > gleft( 0 right) Rightarrow tanx > x + frac{{{x^3}}}{3}) với mọi (xinleft ( 0;frac{pi}{2} right )).

Nhận xét:

Với dạng bài tập chứng minh f(x)>0 với x thuộc khoảng (a;b). Nếu f(a) và f(b) đề khác không, hoặc f(x) không xác định tại a và b. Thì f(x)=0 tại x, với xlà nghiệm của phương trình f'(x)=0, ta không cần mở rộng khoảng đang xét.

 

— Mod Toán 12 HỌC247

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Học tập