Bài 4: Không gian vectơ con | Doanhnhan.edu.vn

1. Không gian vectơ con

Tập con (A ne emptyset ) của Rn được gọi là không gian vectơ con của Rn nếu:

(begin{array}{l} (i),,forall x,y in A,x + y in A\ (ii),forall alpha in R,forall x in A,alpha x in A end{array})

Ví dụ: Cho  (A = {rm{{ }}({x_1};1)/{x_1} in R{rm{} }}). A có phải là không gian vectơ con của R2 không ?

Giải:

Ta có: 2.(0; 1) = (0,2) (notin ) A

Vậy, tính chất (ii) không thỏa nên A không phải là không gian vectơ con của R2.

Ví dụ: Cho (A = left{ {({x_1};{x_2}) in {R^2}/{x_2} = 3{x_1}} right}). A có phải là không gian vectơcon của R2 không ?

Giải:

((i),Coi,x = ({x_1};{x_2}) in A,,y = ({y_1};{y_2}) in A,,thì,{x_2} = 3{x_2},và,{y_2} = 3{y_1})

Suy ra: (x + y = ({x_1} + {y_1};{x_2} + {y_2}) in A,,vì,{x_2} + {y_2} = 3({x_1} + {y_1}))

((ii),,Coi,alpha in R,x = ({x_1};{x_2}) in A,thì,{x_2} = 3x)

Suy ra: (alpha x = (alpha {x_1};alpha {x_2}) in A,vì,alpha {x_2} = 3(alpha {x_1}))

Vậy, A là một không gian vectơ con của R2.

Trong R2:

  • Không gian vectơ con 0 chiều là gốc tọa độ {O}
  • Không gian vectơ con 1 chiều là đường thẳng đi qua gốc tọa độ.
  • Không gian vectơcon 2 chiều là chính R2.

Trong R3:

  • Không gian vectơ con 0 chiều là gốc tọa độ {O}
  • Không gian vectơ con 1 chiều là các đường thẳng đi qua gốc tọa độ.
  • Không gian vectơ con 2 chiều là các mặt phẳng đi qua gốc tọa độ.
  • Không gian vectơ con 3 chiều là chính R3.

Từ định nghĩa của không gian vectơ con, ta chứng minh được: Nếu A là không gian vectơ con của Rn thì A chứa vectơ không

READ:  Khái quát về động cơ đốt trong | Doanhnhan.edu.vn

Vậy nếu A không chứa vecto không thì A không phải là không gian vectơ con.

Ví dụ: A ={(x1; 1)} không phải là không gian con của R2 vì A không chứa vectơ không.

2. Không gian vectơ con sinh bởi hệ vectơ.

Cho V là hệ gồm m vectơ trong Rn.

Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của m vectơ đó tạo thành một không gian con của Rn gọi là không gian sinh bởi V, ký hiệu (leftlangle V rightrangle ). Không gian (leftlangle V rightrangle ) có số chiều bằng số vectơ độc lập tuyến tính tối đa của hệ vectơ đó.

Ví dụ: Cho hệ vectơ V = {(1;0;0),(0:1;0),(1;1;0)}. Tìm không gian con sinh bởi V và số chiều của không gian con này.

Giải

Ta có: (1;1;0) = (1;0;0) + (0;1;0)

{(1;0;0),(0;1;0)} độc lập tuyến tính. Tổ hợp tuyến tính tùy ý của {(1; 0; 0), (0; 1; 0)} có dạng x1 (1; 0; 0) + x2 (0; 1; 0) = (x1 ; x2 ; 0)

Vậy, không gian con sinh bởi V là (leftlangle V rightrangle = {rm{{ (}}{{rm{x}}_1};{x_2};0)/{x_1},{x_2} in R{rm{} }}) có (dim leftlangle V rightrangle = 2)

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Học tập