Bài 3: Cơ sở, tọa độ | Doanhnhan.edu.vn

1. Cơ sở 

Ta thấy mọi vectơ (x=(x_1;x_2) in R^2) đều là tổ hợp tuyến tính của e1 = (1;0) và e2 = (0;1). Ngoài ra e1, e2 độc lập tuyến tính. Khi đó, ta nói {e1,e2} là một cơ sở của R2.

Để ý rằng (x=(x_1;x_2) in R^2) cũng là tổ hợp tuyến tính của e1, e2 và c = (1; 1) vì

x = (x1;x2) = (x1 – 1).(1;0) + (x2 – 1).(0;1) +1.(1; 1)

Tuy nhiên, ta không nói e1, e2 và v là một cơ sơ của R2 vì chúng phụ thuộc tuyên tính.

Ta có định nghĩa cơ sở như sau :

(i) Một hệ các (left{ {{v_1},…,{v_m}} right} subset {R^n}) gọi là một tập sinh của Rn nếu mọi vectơ của Rn đều là tổ hợp tuyến tính của (left{ {{v_1},…,{v_m}} right} )

(ii) Một tập sinh độc lập tuyến tính của Rn gọi là một cơ sở của Rn.

Ví dụ: Chứng minh v1 =(1; 1),v2 = (1; 2),v3 =(2; 1) là một tập sinh của R2

Giải:

 

(x = ({x_1};{x_2}) = {alpha _1}{v_1} + {alpha _2}{v_2} + {alpha _3}{v_3})

( Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {alpha _1} + {alpha _2} + 2{alpha _3} = {x_1}\ {alpha _1} + 2{alpha _2} + {alpha _3} = {x_2} end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {alpha _1} + {alpha _2} = {x_1} – 2{alpha _3}\ {alpha _1} + 2{alpha _2} = {x_2} – {alpha _3} end{array} right.)

(Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {alpha _1} = 2{x_1} – {x_2} – 3{alpha _3}\ {alpha _2} = – {x_1} + {x_2} + {a_3} end{array} right.)

Chọn ({alpha _3} = 1), ta có: (left{ begin{array}{l} {alpha _1} = 2{x_1} – {x_2} – 3\ {alpha _2} = – {x_1} + {x_2} + 1 end{array} right.)

READ:  Văn hóa cổ đại Hi Lạp và Rô-ma đã phát triển như thế nào? Tại sao nói các hiểu biết khoa học đến đây mới trở th | Doanhnhan.edu.vn

Vậy (({x_1};{x_2}) = (2{x_1} – {x_2} – 3).(1;1) + ( – {x_1} + {x_2} + 1).(1;2) + 1.(2;1)) nghĩa là {v1, v2, v3} là tập sinh của R2.

Ví dụ: Chứng minh v1 = (1;1), v2 = (1;0) là một cơ sở của R2

Giải

(i) Chứng minh {v1, v2} là một tập sinh

(x = ({x_1};{x_2}) = {alpha _1}{v_1} + {alpha _2}{v_2})

(Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {alpha _1} + {alpha _2} = {x_1}\ {alpha _1} = {x_2} end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {alpha _2} = {x_1} – {x_2}\ {alpha _1} = {x_2} end{array} right.)

Vậy (x1; x2) = x2.(1;1) + (x1 – x2).(1;0)

(ii) Chứng minh {v1, v2} độc lập tuyến tính

({alpha _1}{v_1} + {alpha _2}{v_2} = O)

( Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {alpha _1} + {alpha _2} = 0\ {alpha _1} = 0 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {alpha _2} = 0\ {alpha _1} = 0 end{array} right.)

Vậy {v1, v2} là một cơ sở của R2

Như thế, ta thấy Rn có nhiều cơ sở. Tuy nhiên, số vecto của mỗi cơ sở đều bằng n. Khi đó n gọi là số chiều của không gian Rn và ta viết: dim(Rn)=n

2. Tọa độ

Cho (B = {rm{{ }}{u_1},{u_2},…{u_n}} ) là một cơ sở của Rn và (x in R^n). Khi đó tồn tại các số thực ({lambda _1},{lambda _2},…,{lambda _n})sao cho 

(x = {lambda _1}{u_1} + {lambda _2}{u_2} + … + {lambda _n}{u_n})

Ta gọi (({lambda _1},{lambda _2},…,{lambda _n})) hoặc (left[ begin{array}{l} {lambda _1}\ {lambda _2}\ .\ {lambda _n} end{array} right]) là tọa độ của vectơ X trong cơ sở B, ký hiệu ({left[ x right]_B})

Ví dụ:

Tọa độ của (2;3) trong cơ sở {(1;0),(0;1)} là (2,3) vì: (2; 3) = 2(1; 0) + 3(0; 1)

Tọa độ của (2;3) trong cơ sở {(1;1),(1;0)} là (3,-1) vì (2; 3) = 3(1; 1) – 1(1; 0)

READ:  Thời Bắc thuộc và các cuộc đấu tranh giành độc lập dân tộc (từ thế kỉ II TCN đến đầu thế kỉ X) (Tiếp theo) | Doanhnhan.edu.vn

Chú ý: Người ta chứng minh được trong Rn, cứ n vectơ độc lập tuyến tính thì tạo thành một cơ sở. Vì vậy, để chứng minh n vectơ tạo thành một cơ sở của Rn, ta chỉ cần chứng minh chúng độc lập tuyến tính.

Ví dụ: v1 = (1;2), v2 = (2; 1), v3 = (3;4) có tạo thành một cơ sở của R2 không?

Giải: Không, vì cơ sở của R2 phải có đúng 2 vectơ.

Ví dụ: Cho v1=(1;2;3), v2 = (1;2:0), v3 =(1;0;0)

a. Chứng minh: {v1, v2, v3} thành một cơ sở của không gian R3.

b. Tìm tọa độ của v = (-1;2;-3) trong cơ sở nói trên.

Giải

a. ({alpha _1}{v_1} + {alpha _2}{v_2} + {alpha _3}{v_3} = 0 Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {alpha _1} + {alpha _2} + {alpha _3} = 0\ 2{alpha _1} + 2{alpha _2} = 0\ 3{alpha _1} = 0 end{array} right.)

(Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {alpha _1} = 0\ {alpha _2} = 0\ {alpha _3} = 0 end{array} right.)

Do đó {v1, v2, v3} là một hệ vecto độc lập tuyến tính trong R3

Vì {v1, v2, v3} gồm ba vecto độc lập tuyến tính trong R3 nên {v1, v2, v3} là một cơ sở của R3

b. (( – 1;2; – 3) = {alpha _1}(1;2;3) + {alpha _2}(1;2;0) + {alpha _3}(1;0;0))

(Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {alpha _1} + {alpha _2} + {alpha _3} = – 1\ 2{alpha _1} + 2{alpha _2} = 2\ 3{alpha _1} = – 3 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {alpha _1} = – 1\ {alpha _2} = 2\ {alpha _3} = – 2 end{array} right.)

Vậy (-1;2;-3) = -1(1;2;3) + 2(1;2;0) – 2(1;0;0) hay tọa độ của vecto (-1;2;-2) trong cơ sở  {v1, v2, v3} là (-1;2;-2).

Chú ý: Do mọi cơ sở của Rn đều gồm n vecto nên không thể có nhiều hơn n vecto trong Rn độc lập tuyến tính.

READ:  Tổng kết về cây có hoa | Doanhnhan.edu.vn

Ví dụ: Xét hệ gồm các vecto

v1 =(1;2;3), v2=(2;1;0), v3=(-1;0;1), v4=(0;2;-2)

Hệ {v1, v2, v3, v4} độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

Giải:

Vì trong R3 chỉ có tối đa 3 vectơ độc lập tuyến tính nên {v1, v2, v3, v4phụ thuộc tuyến tính.

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Học tập